Usted desea utilizar lo que se denomina indicador variables. Para ver cómo funciona esto, vamos a tomar el primer problema. Deje $Y$ el número de contenedores que están vacíos. Desea $E[Y]$. Ahora definir el indicador variables$X_i$, de modo que $X_i$ $1$ si bin $i$ está vacía y $0$ lo contrario. Entonces tenemos
$$Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$$
Por la linealidad de la espera,
$$E[Y] = E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n].$$
Así que ahora el problema se reduce a calcular el $E[X_i]$ por cada $i$. Pero esto es bastante fácil, como $$E[X_i] = 1 P(X_i = 1) + 0 P(X_i = 0) = P(X_i = 1) = P(\text{bin $i$ is empty}) = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^m,$$
donde la última igualdad es porque las bolas $1, 2, \ldots, m$ todos debemos ir en una bandeja distinta de $i$, cada una con una probabilidad de $1 - \frac{1}{n}$.
Por lo tanto, $$E[Y] = n \left(1 - \frac{1}{n}\right)^m.$$
El segundo problema puede ser solucionado de una manera similar. Deje $Y$ el número de contenedores que tienen exactamente $1$ pelota. Deje $X_i$ $1$ si bin $i$ tiene exactamente una bola y $0$ lo contrario. Entonces todo lo que queda es averiguar $E[X_i]$, que es la probabilidad de que un determinado bin tiene exactamente $1$ bola, e ir de allí. Ya que esta es la tarea, voy a dejar que termine.
