¿Esto $3\times 3$ matriz de existir?

Question

Hace un real $3\times 3$ matriz $A$ que satisface las condiciones de $\operatorname{tr}(A)=0$ y $A^2+A^T=1$ ($1$ es una matriz de identidad) existen?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

[Muchas gracias a user1551 por esta contribución.] En primer lugar, vamos a mostrar que los autovalores de a $A$ debe ser real. La ecuación de $A^2+A^T=I$ implica que $$A^T=I−A^2 \quad\text{and}\quad (A^T)^2+A=I.$$ Sustituyendo en la primera ecuación en la segunda rendimientos $$I−2A^2+A^4+A=I \quad\Longrightarrow\quad A^4−2A^2+A=A(A−I)(A^2+A−I)=0.$$ Los autovalores por lo tanto debe satisfacer $\lambda(\lambda−1)(\lambda^2+\lambda−1)=0$, que tiene las raíces $\{0,1,(-1+\sqrt{5})/2,(-1-\sqrt{5})2\}$, todo real. De hecho, vamos a demostrar que sólo los dos últimos son posibles.

Deje $A=QUQ^T$ ser la descomposición de Schur $A$ donde $Q$ es unitaria y $U$ es triangular superior. Debido a que los autovalores de a $A$ son reales, tanto en $Q$ $U$ son reales también. Entonces $$A^2+A^T=I\quad\Longrightarrow QUQ^TQUQ^T+QU^TQ^T=I\quad\Longrightarrow\quad U^2+U^T=I.$$ $U^2$ es triangular superior, y $U^T$ es inferior triangular. La única manera que es posible satisfacer la ecuación es si $U$ es diagonal.

(Alternativamente, $A$ viajes con $A^T$ porque $A^T=I-A^2$. Por lo tanto, $A$ es normal en la matriz. Ya hemos demostrado que todos los autovalores de a $A$ son reales, se deduce que el $A$ es ortogonalmente diagonalisable como $QUQ^T$ para algunos de los verdaderos ortogonal de la matriz $Q$ y real de la diagonal de la matriz $U$.)

Si $U$ es diagonal, entonces $A$ fue simétrica; y los elementos de la diagonal de a $U$ son los autovalores de a $A$. Cada uno por separado satisfacer $\lambda^2+\lambda-1=0$. Por lo $\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Pero hay tres autovalores, así que uno de ellos se repite. No hay manera de que la suma resultante sea cero.

Ya que la suma de los valores propios es igual a $\mathop{\textrm{Tr}}(A)$, esto es una contradicción.

EDIT: voy a añadir que no importa que la matriz es $3\times 3$. No hay ninguna matriz cuadrada de cualquier tamaño que se ajusta a los requisitos planteados. No hay manera de elegir a $n>0$ de los valores del conjunto $\{(-1+\sqrt{5})/2,(-1-\sqrt{5})/2\}$ que tiene una suma cero.

Answer 2

Considero que el caso donde $A$ está restringido a real matrices para $A^\top=A^*$.

Deje $\lambda$ ser cualquier autovalor de a $A$, y vamos a $x$, $\|x\| > 0$ un vector propio.

Multiplicar a la izquierda por $x^*$ y en el derecho por $x$ para obtener

$x^* (A^2 x) + (Ax)^*x = \|x\|^2$, es decir, $\lambda^2\|x\|^2 + \overline{\lambda}\|x\|^2 = \|x\|^2$.

Como el lado derecho es cero no debemos tener $\lambda \neq 0$ $ \lambda^2 + \overline{\lambda} = 1.$

Deje $\lambda = a + ib$ $a,b$ real. Tenemos $$a^2 -b^2 + a = 1$$ and $$2ab - b = 0.$$ Note, $a \neq 1/2$ as then $a^2 + a - 1 = b^2$, a consequence of the first equation becomes impossible. SO the second equation above implies $b=0$ and all eigenvalues are real and are roots of $x^2 + x - 1 = 0$. The rest follows as above solution by Michael Grant, i.e., the trace being the sum of three numbers in $\{ \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \}$ cannot be $0$.