Si hago que la parte no estricta de un semiorco sea euclidiana, ¿tengo entonces un preorden?

Question

Una relación binaria $R$ en $D$ es semitransitiva si se cumple la siguiente condición para todo $a, b, c, d\in D$ :

(1) Si $aRb$ y $bRc$ entonces $aRd$ o $dRc$ .

Una relación binaria $R$ en $D$ es Ferrers si se cumple la siguiente condición para todo $a, b, c, d\in D$ :

(2) Si $aRb$ , $cRd$ y no $cRb$ entonces $aRd$ .

Un semiorco $R$ es reflexivo, semitransitivo y Ferrers. Como es habitual, la parte estricta $P$ de $R$ se define como $aPb$ si. $aRb$ y no $bRa$ y la parte no estricta $I$ se define como $aIb$ si. $aRb$ y $bRa$ . Una propiedad interesante de un semiorde es que mientras $P$ es transitivo, $I$ no es transitivo. Otra definición para las complejas: Una relación binaria $R$ es euclidiano si $aRb$ y $aRc$ implica $bRc$ .

Preguntas:

1. ¿Es cierto que $I$ no es euclidiano cuando se deriva de un semiorco total?

2. Si impongo una restricción adicional que $I$ debe ser euclidiano, hace $R$ ¿se convierte en un preorden?

Lo pregunto porque en la teoría de las preferencias y en la psicología matemática se han dado bonitos ejemplos para la no transitividad de las preferencias (el ejemplo del azúcar en el café de Luce), y éstos conducen a representaciones de semorden. Pero el caso $aIb$ , $aIc$ y $bPc$ aparentemente nunca se discute en esta literatura y parece bastante impar si $P$ se supone que expresa las preferencias y $I$ es la indistinguibilidad (no transitiva).

Answer 1

Bien, esto parece ser bastante fácil y creo que puedo responderlo yo mismo. Respuesta corta: Sí a las dos preguntas. Respuestas intencionadamente verbales:

Teorema 1: Supongamos que $R$ es un semiorco, lo que implica que $I$ derivado de $R$ es simétrica pero no transitiva. Entonces $I$ tampoco es euclidiano.

Prueba: Que $I$ no es transitivo implica que hay al menos un triple $a, b, c$ en el ámbito de $R$ tal que $aIb$ , $bIc$ pero $\lnot (a I c)$ . Desde $I$ es simétrica, también obtenemos $bIa$ , $bIc$ y $\lnot (aIc)$ que viola directamente la euclididad.

Teorema 2: Supongamos que $S$ es un semiorco y añadimos la restricción de que $I$ derivado de $S$ de la forma habitual debe ser además euclidiana. Entonces $S$ es un preorden (como caso especial de un semorden).

Prueba: Un preorden $R$ es una relación reflexiva y transitiva. A partir de la definición de la parte estricta $P$ como $aPb$ si. $aRb$ y $\lnot(bRa)$ y la parte simétrica $I$ como $aIb$ si. $aRb$ y $bRa$ se deduce que tanto $P$ y $I$ debe ser transitivo. De hecho, dadas las distintas relaciones $P$ y $I$ un preorden puede definirse como $aRb$ si $aPb$ o $aIb$ , donde $P$ es asimétrica y transitiva, y $I$ es simétrica y transitiva. Como $P$ derivado de un semiorco es también asimétrico y transitivo, sólo tenemos que demostrar que $I$ derivado de un semiorco $S$ Además, la euclididad también es simétrica y transitiva.

(a) $I$ se define como $aIb$ si. $aSb$ y $bSa$ de semioruga $S$ por lo que es simétrico.

(b) Por suposición, $I$ es euclidiano, y por (a) sabemos que es simétrico. Por el lema 1 sabemos que también es transitiva. Por tanto, cualquier relación $R$ definido a partir de $P$ y $I$ es un preorden, por lo que $S$ debe ser una preorden, también.

Lema 1: Toda relación simétrica y euclidiana es transitiva.

Prueba: La euclididad de una relación binaria $R$ establece que (1) para todo a, b, c: $aRb$ y $aRc$ implica $bRc$ . La simetría establece que (2) para todo a,b: $aRb$ implica $bRa$ . Por simetría de $R$ de (1) obtenemos de (1'): $bRa$ y $aRc$ implica $bRc$ . Esto es sólo la definición de transitividad.