Circunradio de un triángulo

Question

Longitudes de los lados de un triángulo, $a$ , $b$ y $c$ se dan. Tenemos que encontrar el circunradio del triángulo formado por los vértices $A$ , $B$ y $G$ , donde $G$ es el centro del triángulo $ABC$ . La siguiente es una imagen del problema: (sin los valores dados porque no quiero que esto parezca una pregunta de tarea)

Abordé este problema averiguando las longitudes de los lados $AG$ y $BG$ del triángulo $GAB$ utilizando la fórmula para encontrar la longitud de la mediana trazada desde cualquier vértice de un triángulo. Después de obtener estos dos valores (ya sé la longitud $AB$ ), he utilizado la fórmula del circunradio dada como ABC/4∆ (Donde ∆ es el área del triángulo) pero no he obtenido la respuesta correcta. He comprobado y vuelto a comprobar si había errores de cálculo, pero ¡no! Parece que no hay ninguno.

¿Es correcto mi método? Cualquier ayuda sería tremendamente apreciada. Muchas gracias de antemano :) Saludos.

Answer 1

La fórmula de la longitud de $AG = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{AC^2-BC^2+AB^2}$ . Del mismo modo, la longitud de $BG=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2-AC^2}$ . Ahora, podemos encontrar que el circunradio del triángulo es $$\frac{AB\cdot BG\cdot AG}{4\sqrt{s(s-AB)(s-BG)(s-AG)}}$$ , donde $s=\frac{AG+BG+AB}{2}$ .

Si se le da $AB,BC,AC$ seguramente no puede obtener una respuesta incorrecta a menos que haya un error de cálculo.

Answer 2

Por la fórmula de Euler $R=\frac{abc}{4\Delta}$ el circunradio de $ABG$ viene dada por

$$ R_{ABG} = \frac{c\left(\frac{2}{3}m_a\right)\left(\frac{2}{3}m_b\right)}{4[ABG]} = \color{red}{\frac{c\, m_a\, m_b}{3[ABC]}} = \frac{4}{3}R\left(\frac{m_a}{a}\right)\left(\frac{m_b}{b}\right)$$ donde $$ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2} $$ se desprende de Teorema de Stewart .