Demostrar que $\sum_{n \ge x} \frac{\chi(n)}{\sqrt{n}} = \mathcal{O}\bigg(\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)$

Question

Estoy atascado en el siguiente ejercicio:

Dejemos que $\chi$ sea un carácter no principal módulo $q$ . Demostrar que

$$\sum_{n \ge x} \frac{\chi(n)}{\sqrt{n}} = \mathcal{O}\bigg(\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)$$

Mi intento: Deja que $A:= \max_{n \in \{1,\ldots,q-1\}} \chi(n)$ . Entonces tenemos

$$\bigg\lvert \sum_{n \ge x} \frac{\chi(n)}{\sqrt{n}} \bigg\rvert \le \sum_{n \ge x} \frac{\lvert\chi(n)\rvert}{\sqrt{n}} = A\cdot \sum_{n \ge x} \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Aquí me atasco. Entiendo que $\sum_{n \ge x} \frac{1}{\sqrt{n}}$ está relacionada con la serie armónica $H_n$ por

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - H_{\lfloor x \rfloor} = \sum_{n \ge x} \frac{1}{\sqrt{n}} $$

y sabemos que

$$H_n = \gamma + log(n) + \mathcal{O}(1/n)$$

, donde $\gamma$ es la constante de Euler-Maceroni. ¿Podemos usar esto aquí alguna vez?

Answer 1

La suma parcial $$ A(x) \equiv \sum_{n \leq x} \chi(n) $$ está acotado; $A(t) \ll 1$ .

Por lo tanto, $$ \sum_{n \leq x} \chi(n)/n^{1/2} = A(x)/x^{1/2} + constant + (1/2) \int_{1}^{x}A(t)t^{-3/2} dt, $$ con la última integral convergente como $x$ va al infinito.

Una vez conocidos éstos, elegimos en lo anterior como $$ \sum_{n \geq x} \chi(n)/n^{1/2} = - A(x)/x^{1/2} + (1/2) \int_{x}^{\infty}A(t)t^{-3/2} dt \ll x^{-1/2}. $$