Resolver $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\frac y{x^2}=\frac1{x^2}$

Question

Resuelve la siguiente ecuación: $$ \dfrac {dy}{dx} + \dfrac {y}{x^2}=\dfrac {1}{x^2} $$

Mi intento

Dada: $$ \dfrac {dy}{dx}+\dfrac {y}{x^2}=\dfrac {1}{x^2} $$ Comparando la ecuación anterior con la forma estándar de la ecuación diferencial lineal de primer orden $dy/dx+P.y=Q$ donde $P$ y $Q$ son las funciones de $x$ o constantes.

Ahora, utilizando el factor integrador $e^{\int P dx}$ : $$ e^{\int P dx}=e^{\int x^{-2} dx}=e^{-\frac {1}{x}} $$ Multiplicar ambos lados de la ecuación dada por el factor integrador: $$ e^{-\frac {1}{x}}.\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {y.e^{-\frac {1}{x}}}{x^2}=\dfrac {e^{-\frac {1}{x}}}{x^2} $$

Answer 1

Sugerencia: Escriba su ecuación en la forma $$\frac{dy}{1-y}=\frac{dx}{x^2}$$ para $$y\ne 1$$ y $$x\ne 0$$

Answer 2

Genial, ahora escríbelo en la forma $$\frac{e^{-1/x}}{x^2}(y-1)\,dx + e^{-1/x} \,dy = 0$$

Estamos tratando de encontrar una función $F(x,y)$ tal que el LHS anterior es el diferencial total de $F$ .

Por lo tanto, $$\frac{\partial F}{\partial y} = e^{-1/x}$$ $$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{e^{-1/x}}{x^2}(y-1)$$

Resolviendo esto obtenemos, por ejemplo $F(x,y) = e^{-1/x}(y-1)$ .

Por lo tanto, nuestra ecuación es $$dF(x,y) = 0$$

así que $F(x,y) = C$ para algunos $C \in \mathbb{R}$ . Obtenemos

$$e^{-1/x}(y-1) = C \implies y = 1+Ce^{1/x}$$

Answer 3

Revisaré la solución general a partir de un factor de integración. Sea $R:=\exp\int Pdx$ así que $R'=RP,\,(Ry)'=R(y'+Py)=RQ,\,y=R^{-1}\int RQdx$ . En el caso especial $P=Q$ como en este problema, de hecho tenemos $RQ=R'$ así que $y=1+CR^{-1}$ . Como otros han señalado, $P=Q$ también hace que la ecuación sea separable, es decir $dy/(1-y)=Pdx$ así que $-\ln |1-y|=\ln R+C$ es decir $|1-y|\propto R^{-1}$ .

Answer 4

Se trata de una ED lineal por lo que hay que considerar en su lugar

$$ x^2y'+y=1 $$

$$ y = y_h + y_p $$

tal que

$$ x^2y_h'+y_h = 0\\ x^2y_p' + y_p = 1 $$

para la solución homogénea $y_h = C_0 e^{\frac 1x}$ que después de la sustitución da

$$ -C_0\frac{x^2}{x^2}e^{\frac 1x}+C_0 e^{\frac 1x}=0 $$

y para el particular $y_p = 1$ entonces

$$ y = C_0 e^{\frac 1x}+1 $$