Coset derecho y el lema asociado de Herstein: Apreciando lo que pasa

Question

I.N. Herstein en la página 34 (última línea) y en la página 35 de "Temas de Álgebra" El libro continúa explicando una definición de coset derecho y un lema como éste:

Def: Si $H$ es un subgrupo de G, y $a \in G$ entonces $Ha = \left \{ha|h\in H \right \}$ ;entonces $Ha$ es el coset derecho de $H$ en $G$

Lema: Para todos los $a \in G $ $Ha = \left \{x \in G |a \equiv x mod H \right \}$

A continuación, define un conjunto $[a]$ exactamente como $Ha$ y tratando de mostrar $Ha \subseteq [a] $

Mi confusión:

1. ¿Qué está pasando aquí?

2. Más concretamente, qué intenta transmitir el lema y por qué el autor pasa a definir $[a]$ exactamente como $Ha$ y tratando de mostrar $Ha \subseteq [a] $ ¿No es trivial que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo?

3. Si tienes la prueba del lema contigo, puedes ayudarme a entenderlo. No soy capaz de entender por qué exactamente estamos tratando con $a(ha)^{-1}$ que entiendo que está motivado por $a = ha mod H$

Gracias por su tiempo y paciencia Soham

Answer 1

La notación de corchetes se suele utilizar en referencia a las relaciones de equivalencia. Si $\sim$ es una relación de equivalencia sobre un conjunto $G$ entonces $[a] = \{x \in G : x \sim a\}$ .

Así que si tuviera que adivinar lo que está pasando aquí, diría que define $Ha = \{ha : h \in H\}$ . Entonces habría definido una relación de equivalencia $\sim$ en $G$ por $a \sim b$ si y sólo si $ab^{-1} \in H$ .

Entonces es fácil (pero no trivial) demostrar que $Ha \subset [a]$ .

Answer 2

Lo interesante de los cosets es que son clases de equivalencia en el grupo $G$ . Esto significa que $Ha \cap Hb = \emptyset$ o $Ha = Hb$ para cualquier $a, b \in G$ . Este es un hecho muy importante que se utilizará para demostrar el Teorema de Lagrange.