Aproximación del mínimo

Question

Supongamos que $f$ es una función continua sobre un subconjunto $U$ de un conjunto de dimensión finita $V$ . ¿Cuándo puedo decir que "podemos encontrar una secuencia $x_n\in U$ tal que $f(x_n)\to \inf_{x\in U} f(x)$ "?

Hace $U$ ¿tiene que estar abierto?

Answer 1

Lo único importante de $U$ es que no esté vacío. Las propiedades clave del codominio, $S$ de $f$ son que se trata de un espacio topológico linealmente ordenado (para que el orden y la convergencia jueguen bien entre sí) y que existe alguna secuencia en $\{x\in S\mid x>\inf f[U]\}$ que converge a ese infimo. Además, necesitarás el axioma de elección contable.