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¿Cómo se puede motivar la construcción de la función gamma?

La función gamma extiende la función factorial. Esto se puede demostrar de forma inductiva utilizando la integración por partes.

Pero si usted no sabía ya que la función gamma tenía esta propiedad, y quería construir una continuación de factorial a priori, ¿cómo podría construir la función gamma? ¿Cómo podría motivar una exploración que llevaría a esta respuesta?

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