Vectores propios y valores propios de a $4 \times 4$ matriz

Question

$$\begin{bmatrix}-k_1-k_2 & 0 & 0 & 0 \\ k_1 & 0 & 0 & 0 \\ -k_2 & 0 & -k_3 & k_4 \\ 0 & 0 & k_3 & -k_4\end{bmatrix}$$

¿Cómo puedo encontrar los valores y vectores propios de la $4 \times 4$ ¿matriz que se compone de símbolos?

Lo he intentado muchas veces pero no tiene sentido.

Answer 1

En efecto, sólo consta de símbolos, pero se pueden calcular sus valores propios como siempre: calculando las raíces del polinomio característico, que es $$x^4+(k_1+k_2+k_3+k_4)x^3+(k_1k_3+k_1k_4+k_2k_3+k_2k_4)x^2.$$ Los valores propios son $0$ (dos veces), $-k_1-k_2$ y $-k_3-k_4$ . Ahora, puedes calcular los vectores propios por el método habitual.

Answer 2

Podemos factorizar

$$\begin{vmatrix}-k_1-k_2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ k_1 & -\lambda & 0 & 0 \\ -k_2 & 0 & -k_3-\lambda & -k_4 \\ 0 & 0 & k_3 & -k_4-\lambda\end{vmatrix}$$ $$=\begin{vmatrix}-k_1-k_2-\lambda & 0 \\ k_1 & -\lambda \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} -k_3-\lambda & -k_4 \\ k_3 & -k_4-\lambda\end{vmatrix}=\ldots$$