Producto de dos espacios regulares

Question

Def: Un espacio $X$ es regular si $\forall x \in X$ y para todo conjunto cerrado $C \subset F$ con $x \notin C$ existen conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ s.t $x \in U$ y $C \subset V$ .

Problema: Un subespacio de un espacio regular es regular; $X \times Y$ es regular si cada uno de $X$ y $Y$ es regular.

Así que, la primera parte creo que la entiendo.

Un subespacio de un espacio regular es regular.

Prueba: Sea $Y$ sea un subespacio de un espacio regular $X$ y que $x \in Y$ y $F$ sea un conjunto cerrado en $Y$ que no contenga $x$ . Desde $Cl_{X}(F) \cap Y = F$ entonces $x \notin Cl_{X}(F)$ . Entonces, porque $X$ es regular $\exists U,V$ conjunto abierto disjunto en $X$ tal que $x \in U$ y $Cl_{X}(F) \subset V$ . Entonces $U \cap Y$ y $V \cap Y$ son conjuntos abiertos en Y tales que $x \in U \cap Y$ y $F \subset V \cap Y$ . Por lo tanto, $Y$ es un subespacio regular de $X$ .

La segunda parte de la pregunta es donde tengo problemas. Creo que debería seguir directamente la definición de un espacio regular y trabajar con los componentes en $X \times Y$ Pero al mismo tiempo sé cómo van estas preguntas y que la pregunta no estaría formulada como lo está si no necesitara utilizar el hecho de que un subespacio de un espacio regular es regular. Además, hablando con un amigo me ha parecido que esto es aún más cierto, pero no consigo entenderlo ni ver por qué es realmente necesario. Sin embargo, aquí está mi intento.

$X \times Y$ es regular si cada uno de $X$ y $Y$ es regular.

Prueba:

$\Rightarrow$ ) Supongamos $X \times Y$ es regular. Entonces $\forall (x,y) \in X \times Y$ y para cada uno de los cerrados $(F_{1}, F_{2}) \subset X \times Y$ con $(x,y) \notin (F_{1}, F_{2})$ existen conjuntos abiertos disjuntos $(U_{1}, U_{2}), (V_{1}, V_{2})$ en $X \times Y$ tal que $(x,y) \in (U_{1}, U_{2})$ y $(V_{1}, V_{2}) \subset (F_{1}, F_{2})$ . Entonces $x \in U_{1} \subset X$ , $y \in U_{2} \subset Y$ y $V_{1} \subset F_{1}$ en $X$ y $V_{2} \subset F_{2}$ en $Y$ . Por lo tanto, $X$ es regular y $Y$ es regular.

$\Leftarrow$ ) No estoy muy seguro aquí, y la prueba que tengo ahora para esta parte es bastante análoga a la primera implicación.

En cuanto a utilizar el resultado del subespacio para demostrar la segunda mitad de la pregunta lo único que se me ocurre hacer es considerar, los subespacios $X$ y $Y$ en $X \times Y$ pero no he sido capaz de conseguir la prueba al jugar con eso y mi notación es probablemente un poco fuera ya que no he hecho mucho con los productos en la topología, así que voy a ahorrar a todos y no publicar eso. Esta pregunta parecía bastante fácil a primera vista, no sé por qué me confunde tanto. De todas formas, muchas gracias por cualquier ayuda/perspectiva que podáis aportar.

Answer 1

Aquí tienes algunas sugerencias; he dejado muchos detalles para que los completes.

La cuestión del producto es mucho más fácil si primero se prueba este pequeño

Propuesta: Un espacio $X$ es regular si y sólo si para cada punto $x\in X$ y cada conjunto abierto $U$ que contiene $x$ existe un conjunto abierto $V$ tal que $x\in V\subseteq\operatorname{cl}_X V\subseteq U$ .

Para la prueba de $(\Leftarrow)$ Supongamos que $\langle x,y\rangle\in X\times Y$ y $U$ es un conjunto abierto en $X\times Y$ tal que $\langle x,y\rangle\in U$ . Entonces, por la definición de la topología del producto hay conjuntos abiertos $V\subseteq X$ y $W\subseteq Y$ tal que $\langle x,y\rangle\in V\times W\subseteq U$ . Claramente $x\in V$ y $y\in W$ para poder utilizar la regularidad de $X$ y $Y$ y la propuesta de conseguir conjuntos abiertos $G\subseteq X$ y $H\subseteq Y$ tal que $x\in G\subseteq\operatorname{cl}_X G\subseteq V$ y $y\in H\subseteq\operatorname{cl}_Y H\subseteq W$ . Consideremos ahora el conjunto abierto $G\times H$ que contiene claramente $\langle x,y\rangle$ ; cuál es su cierre en $X\times Y$ ?

Para la prueba de $(\Rightarrow)$ hay que asumir que $X\times Y$ es regular y luego demostrar que $X$ y $Y$ son regulares. Para demostrar directamente que $X$ es regular, debe comenzar con un punto $x\in X$ no es un punto en $X\times Y$ . Si se trata de una prueba directa, y se utiliza la proposición, también se comenzará con un conjunto abierto $U$ que contiene $x$ . Sea $y$ sea cualquier punto de $Y$ y considerar el vecindario abierto $U\times Y$ de $\langle x,y\rangle$ . Obtener un conjunto abierto $V\subset X\times Y$ tal que $$\langle x,y\rangle\in V\subseteq\operatorname{cl}_{X\times Y}V\subseteq U\times Y\;,$$ y encontrar un conjunto abierto básico en la topología del producto (es decir, una "caja" abierta, como $V\times W$ en la prueba de $(\Leftarrow)$ ) que contiene $\langle x,y\rangle$ y contenida en $V$ . No deberías tener muchos problemas para usar esa "caja" para conseguir un conjunto abierto en $X$ que contiene $x$ cuyo cierre está contenido en $U$ .

Sin embargo, para esta dirección puedes, como sospechas, utilizar la primera parte del problema. Elige cualquier $y\in Y$ Entonces $X\times \{y\}$ es un subespacio del espacio regular $X\times Y$ por lo que es regular, y también es homeomorfo a $X$ Así que $X$ también es regular. Puede manejar $Y$ de manera similar.

Answer 2

( $\Leftarrow$ ) Supongamos $X\times Y$ es regular. Puntos de recogida $x_0\in X$ y $y_0\in Y$ entonces los subespacios $X\times\{y_0\}$ y $\{x_0\}\times Y$ son regulares (por su primer resultado). Ahora observa que estos subespacios son homeomorfos a $X$ y $Y$ por lo tanto, respectivamente $X$ y $Y$ son regulares.