$\{a_n\}_{n\ge 1}$ sea una secuencia de números reales distintos de cero, ¿existe una subsecuencia $\{b_n\}_{n\ge 1}$ s.t. $b_{n+1}/b_n \to 0,1$ o $ \infty$ ?

Question

Dejemos que $\{a_n\}_{n\ge 1}$ sea una secuencia de números reales distintos de cero.

Entonces, ¿existe una subsecuencia $\{a_{k_n}\}_{n\ge 1}$ de $\{a_n\}_{n\ge 1}$ de manera que $\{\dfrac {a_{k_{n+1}}}{a_{k_n}}\}_{n\ge 1}$ converge a $1$ o $0$ o $\{\dfrac {a_{k_{n}}}{a_{k_{n+1}}}\}_{n\ge 1}$ converge a $0$ ?

Answer 1

Podemos suponer que todos los $a_k$ son positivos. Si sólo hay un número finito de $a_k$ son positivos, consideramos la secuencia $\{-a_k\}_k$ en su lugar.

Si la secuencia converge a un límite no nulo, es evidente que encontramos una subsecuencia tal que el cociente converge a $1$ . De forma más general, lo mismo ocurre si la secuencia tiene un punto de acumulación distinto de cero.

Si la secuencia converge a $0$ (o más generalmente: si $0$ es un punto de acumulación), encontramos fácilmente una subsecuencia tal que el cociente converge a $0$ . Sólo elige $n_1=1$ y recursivamente $n_{k+1}=\min\{\,i\in\Bbb N\mid i>n_k, 0<a_i<\frac1ka_{n_k}\,\}$ .

Sigue siendo el caso que la secuencia no tiene ningún punto de acumulación. Pero entonces no tiene límites y $0$ es un punto de acumulación de $\frac1{a_n}$ . Una subsecuencia de ésta con cociente límite $0$ corresponde a un cociente límite $+\infty$ de la secuencia original.