¿Cómo encuentro el volumen cortado de la bola unitaria por el plano ax+by+cz = d?

Question

¿Cómo encuentro el volumen cortado de la bola unitaria por el plano ax+by+cz = d?

Sé que hay una doble integral en alguna parte, pero no entiendo cómo atacar este problema. Se agradece cualquier orientación.

Answer 1

Por simetría de la bola unitaria (centrada en $(0,0,0)$ Supongo), también puede girar el plano hasta que sea paralelo a la $xy$ -Avión. Esto puede hacerse calculando primero la distancia $\lambda$ de $(0,0,0)$ al plano y entonces tenemos el conjunto de puntos $$CAP=\{(x,y,z)\mid z\geq \lambda,\ y^2\leq 1-z^2,x^2\leq 1-y^2-z^2\}$$ Una cuarta parte de este casquillo esférico tiene $x,y\geq 0$ y su volumen se puede calcular como $$\frac14 CAP=\int_\lambda^1 \int_0^{\sqrt{1-z^2}}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2-z^2}}1\ dx\ dy\ dz$$