Cardinalidad de una unión de conjuntos contables

Question

Esta prueba del "Proofs from THE BOOK" me parece defectuosa.

Si tomamos $M = \mathbb N$ entonces el orden de $\widetilde{M}$ será $\omega^2$ como yo lo veo. Así que $M$ no es similar a $\widetilde{M}$ .
¿Me estoy perdiendo algo?

Este prueba está claro para mí, aunque es más complicado.

Answer 1

Sí, tienes razón. La prueba sólo funciona si $\frak m$ es incontable. Sin embargo, como podemos demostrar el caso contable por separado, no complica las pruebas de manera significativa.

(No conozco muy bien "el libro", así que puede que se haya probado antes para el caso contable).