Un conejo intenta escapar de su depredador zigzagueando de la siguiente manera.

Question

Este problema trata de un conejo que intenta escapar de su depredador zigzagueando. Inicialmente se fija un parámetro $\alpha\in(0,\frac\pi2)$ (en radianes), y en cada segundo $n\geq1$ escoge $U_n$ Uniforme $(0,\alpha)$ ángulo. Entre los tiempos $n-1$ y $n$ (segundos) corre a velocidad unitaria en dirección $U_n$ en relación con el Este, entonces escoge $U_{n+1}$ y corre en esa dirección con respecto al Este, etc. Por ejemplo, si $U_n=\frac\pi4$ , entonces a partir del tiempo $n-1$ al tiempo $n$ exactamente corre hacia el noreste. Por lo tanto, la posición del conejo al final de la $n$ El segundo es $$(S_n,T_n)=\left(\sum_{i=1}^n\cos U_i,\sum_{i=1}^n\sin U_i\right).$$ Supongamos que el $U_n$ son independientes.

• Demuestre que el conejo tiene una velocidad asintótica en el sentido de que su distancia $D_n=\sqrt{S_n^2+T_n^2}$ desde su punto de partida en el momento $n$ dividido por $n$ converge a.s. a un límite.
• Calcula esta velocidad asintótica $lim_{n\to\infty}\frac{D_n}n$ en función del parámetro $\alpha$ . ¿Qué pasa si $\alpha$ está cerca de $0$ ?

Hasta ahora he hecho algunos progresos. Tenemos que $$\begin{align*} \frac{D_n}n&=\sqrt{\left(\frac{S_n}n\right)^2+\left(\frac{T_n}n\right)^2}\\ &\overset{a.s.}\to\sqrt{(\mathbb{E}\cos U_i)^2+(\mathbb{E}\sin U_i)^2}.\tag{by the SLLN} \end{align*}$$ Así que ahora todo lo que tengo que hacer es calcular este límite. Así que en primer lugar $$\begin{align*} \mathbb{E}\cos U_i&=\int_0^\alpha\frac1\alpha\cos xdx\\ &=\frac1\alpha[\sin x]_0^\alpha\\ &=\frac{\sin\alpha}\alpha \end{align*}$$ y $$\begin{align*} \mathbb{E}\sin U_i&=\int_0^\alpha\frac1\alpha\sin xdx\\ &=\frac1\alpha[-\cos x]_0^\alpha\\ &=\frac1\alpha(1-\cos\alpha). \end{align*}$$ Así que ahora tenemos que $$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{D_n}n&=\sqrt{\frac{\sin^2\alpha+1-2\cos\alpha+\cos^2\alpha}{\alpha^2}}\\ &=\frac{\sqrt{2-2\cos\alpha}}\alpha \end{align*}$$ Luego, a la hora de analizar el comportamiento de este límite en $\alpha=0$ Empecé a sospechar que había hecho algo mal en mi trabajo, porque habría pensado que esto sería un límite obvio de $1$ ya que el conejo iría casi seguro en la misma dirección a velocidad unitaria. Sin embargo, cuando he intentado evaluar este límite, no he podido averiguar cómo, lo que me hace sospechar que he hecho algo mal, ya que esperaba que esta parte de la pregunta fuera fácil. Así que, ¿alguien puede ver en qué me he equivocado o ayudarme a calcular este límite? Gracias.

Answer 1

Su argumento y sus cálculos son correctos hasta su punto de preocupación, por lo que he comprobado. Aquí hay una simulación de $D_n/n$ como $n\to 9000$ , para $\alpha = \pi/4$ . Converge al valor $f(\pi/4) \approx 0.9744954$ dado por su fórmula $f(\alpha)=\sqrt{2-2\cos(\alpha)}/\alpha$ .

Aquí está el código para producir esto en R,

n <- 9000
f <- function(a)  sqrt(2-2*cos(a))/a
alpha <- pi/4
u <- runif(n, 0, alpha)
x <- cumsum(cos(u))
y <- cumsum(sin(u))
d <- sqrt(x^2+y^2)
v <- d/(1:n)
plot(1:n, v, type = "l")
abline(h = f(alpha), col = "blue", lty = "dashed")
w <- c(exact = f(alpha), mc = sqrt(mean(cos(u))^2+mean(sin(u))^2))
print(w)

Por último, sobre el comportamiento como $\alpha \to 0$ . Afirmamos que $$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sqrt{2-2\cos(\alpha)}}{\alpha}=1.$$ Ya que, si se conocen las series de Taylor/expansiones de Little-O, tenemos $\cos(\alpha)=1-\alpha^2/2+o(\alpha^4)$ como $\alpha \to 0$ . Así, obtenemos $$\frac{\sqrt{2}}{\alpha} \sqrt{1-\left(1- \frac 12 \alpha^2+o(\alpha^4)\right)}$$ $$=\sqrt{2} \sqrt{\frac 12 + o(\alpha^2)}\to 1,$$ como $\alpha \to 0$ . Numéricamente, esto se comprueba también si elegimos algunos pequeños $\alpha$ cerca de cero en el código anterior.

Por favor, comente para aclaraciones o correcciones.