valor máximo posible de $d$

Question

Nos dan tres números enteros $a , b,$ y $c$ tal que $a , b, c, a + b c, a + c b, b + c a ,$ y $a + b + c$ son siete primos distintos. Sea $d$ sea la diferencia entre el mayor y el menor de estos siete primos. Supongamos que $800$ es un elemento del conjunto { $a + b, b + c, c + a$ }. Determine el valor máximo posible de $d$ . Lo que hice: $a,b,c\geq 3$ (Impares primos, si $a$ es par, entonces $a+b-c$ es par también y por lo tanto no son distintos ) $\implies a+b+c$ es el mayor de los primos y WLOG, sea $a$ sea el más pequeño.Entonces $b+c\geq a+b$ y $a+c$ que implica $b+c\geq 800$ .desde, $b+c-a\geq 0 \implies a\leq (b+c\geq 800)$ Aquí estoy atascado, cómo atar $a$ (no sé si es necesario) y obtener el límite superior de $d$ . ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Está claro que sin pérdida de generalidad podemos elegir $a+b=800$ Y de nuevo, como sugieres, podemos intentar maximizar $b+c-a$ mientras se minimiza $a$ .

Para definir bien el problema necesitamos $a\geq |b-c|$ y $c\leq a+b=800$ . Los dos mayores primos menores de 800 son (puede comprobarlo en esta lista ) $787$ y $797$ y su diferencia es $10$ . Así que necesitamos $a$ para ser al menos $10$ y tal que su suma con $787$ o $797$ es $800$ . Esto sugiere claramente la siguiente opción:

$$a=13, \qquad b=787, \qquad c=797.$$

Lo que nos lleva a:

$$a+b-c=3, \qquad a+c-b=23, \qquad b+c-a=1571.$$

De nuevo, utilizando la lista anterior se puede comprobar que hemos tenido suerte y que todos son primos distintos. Entonces hemos calculado realmente (no sólo acotado) el valor máximo $d$ que es:

$d = b+c-a -a = 1571-13= 1558.$

La maximalidad se deduce por construcción.