Si tengo dos $K$ -algebras $A$ y $B$ (asociativo, con identidad) y un homomorfismo de álgebra $f\colon A\to B$ ¿es cierto que $f(\operatorname{rad}A)\subseteq\operatorname{rad}B$ , donde $\operatorname{rad}$ denota el radical de Jacobsen, la intersección de todos los ideales máximos derechos?
Se me ocurren dos pruebas en el caso de que $f$ es subjetivo, pero ambos dependen de esta subjetividad de manera crucial. La primera utiliza la formulación de $\operatorname{rad}A$ como el conjunto de $a\in A$ tal que $1-ab$ es invertible para todo $b\in A$ y la segunda trata un álgebra como un módulo sobre sí misma, y utiliza el hecho de que el radical de $A$ como módulo concuerda con el radical de $A$ como un álgebra, y es la intersección de los núcleos de los mapas sobre módulos simples; aquí se necesita la subjetividad para hacer $B$ en un $A$ -de tal manera que el radical de $B$ como $A$ -está contenido en el radical de $B$ como $B$ -módulo.
Si existe un contraejemplo, $A$ tendrá que ser de dimensión infinita, ya que en el caso de dimensión finita todos los elementos de $\operatorname{rad}A$ son nilpotentes, y (creo, aunque ahora mismo no recuerdo una prueba, así que quizá me equivoque) que el radical siempre contiene todos los elementos nilpotentes.
Esta es mi primera pregunta aquí, así que dime si debería haber hecho algo diferente.
