Es $1+x+x^2+x^3+x^4$ irreducible sobre $\mathbb{Z}$ ?

Question

Es $1+x+x^2+x^3+x^4$ irreducible sobre $\mathbb{Z}$ ?

Entiendo que si se pide $\mathbb{Q}$ la respuesta es sí, porque $$f(x) = x^{5-1}+ x^{5-2} + x^{5-3} +x^{5-4} +1.$$

Desde $5$ es primo, por lo que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Pero, ¿podemos decir que, al ser irreducible sobre $\mathbb{Q}$ también es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ ? No lo tengo claro.

Answer 1

Sí, por supuesto.

De otra manera:

Dejemos que $x=y+1$ .

Así, $$x^4+x^3+x^2+x+1=y^4+5y^3+10y^2+10y+5$$ y utilizar a Eisenstein: https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion

Answer 2

$$f(x) = 1+x+x^2+x^3+x^4$$

$$f(x) = x^{5-1}+ x^{5-2} + x^{5-3} +x^{5-4} +1.$$

Desde $5$ es primo, por lo que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .

Por el lema de Gauss,

Un polinomio primitivo es irreducible sobre los números enteros si y sólo si es irreducible sobre los números racionales.

Utilizando el lema anterior,

Desde $1+x+x^2+x^3+x^4$ irreducible sobre $\mathbb{Q}$ Por lo tanto, $1+x+x^2+x^3+x^4$ irreducible sobre $\mathbb{Z}$ también.