Prueba por inducción de que $16 \mid 5^n - 4n - 1$

Question

Utilizando la inducción, demuestre que $16\mid 5^n - 4n - 1$ para $n$ en $\mathbb{N}$

Esto es lo que tengo y lo que tengo atascado:

base: $n = 1$ , $5 - 4(1) - 1 = 0$ y $16\mid 0$ .

Hipótesis: Asumir que es verdadera para todos $n \le k$

$$5^{k+1} - 4(k + 1) - 1 = 5\times5^k - 4k - 5$$

Answer 1

Supongamos que es cierto para todos $n\in\mathbb{N}$ con $n\leq k$

$5^{k+1} - 4(k+1) - 1 = 5\cdot 5^k - 4k - 5 = 5\cdot 5^k - 4k - 5 -16k + 16k = 5\cdot5^k - 5\cdot 4k - 5\cdot 1 + 16k = 5\cdot(5^k - 4k - 1) + 16k$

Ahora puedes utilizar la hipótesis de inducción y terminar la prueba.

En cuanto a la probable errata de utilizar $\mathbb{P}$ como se menciona en los comentarios anteriores., resulta que es cierto para todos los números naturales. Los primos son un subconjunto de los números naturales. Como es cierto para todos los nat, también lo es para todos los primos.

Answer 2

Por el teorema del binomio, $5^{n}=(4+1)^{n}=4^2a+\binom{n}{1}4+1=16a+4n+1$ De ahí el resultado.