Supongamos que $p,q$ son dos puntos no conjugados en $S^n$ ( $p \ne q,-p$ ). Entonces hay infinitas geodésicas $\gamma_0, \gamma_1, \cdots$ de $p$ a $q$ . Sea $\gamma_0$ denotan el arco de gran círculo corto desde $p$ a $q$ ; dejar que $\gamma_1$ denotan el arco del gran círculo largo $p(-q)(-p)q$ y así sucesivamente. El subíndice $k$ denota el número de veces que $p$ o $-p$ se produce en el interior de $\gamma_k$ . Por qué el índice $\lambda(\gamma_k)= k(n-1)$ ?
Respuesta
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Dejemos que $\gamma:[0,1]\to M$ sea una geodésica en una variedad riemanniana $M$ . El índice $\gamma$ es, por definición (¡y dependiendo de su definición!), el número de puntos en $\gamma$ conjugar con $\gamma(0)$ contado con multiplicidad. Si estamos en la esfera $\mathbb{S}^n$ , entonces es un cómputo que los únicos puntos conjugados a $p\in \mathbb{S}^n$ son $p$ y $-p$ (el punto de $\mathbb{S}^n$ antipodal a $p$ ). Además, la multiplicidad del punto conjugado $-p$ es $n-1$ si $n$ es la dimensión de $\mathbb{S}^n$ . En inglés (¡pero en inglés avanzado!), hay $n-1$ campos de Jacobi linealmente independientes a lo largo de una geodésica que define un arco de círculo mayor desde $p$ a $-p$ cuyos valores en los extremos son cero.
Si entiendes esto, entonces todo lo que necesitas hacer es calcular cuántas veces $p$ y $-p$ ocurren en la geodésica $\gamma_k$ (sin incluir la primera vez correspondiente a $\gamma_k(0)$ si $\gamma_k$ se ve una función de $[0,1]$ a $M$ ). Y este número es:
$0$ para $\gamma_0$ (porque el corto arco de círculo de $p$ a $q$ no contiene $-p$ (porque es corto !))
$n-1$ para $\gamma_1$ (porque $-p$ ocurre una vez en la geodésica $\gamma_1$ y con multiplicidad $n-1$ como se ha explicado anteriormente)
$\cdots$
$k(n-1)$ para $\gamma_k$ (porque el número de veces $p$ o $-p$ se produce en $\gamma_k$ , sin incluir la primera vez $p$ ocurre en el punto inicial, es exactamente $k$ Te animo a que visualices esto durante al menos $k=2$ )
Espero que esto ayude.
