Función continua $f：\operatorname{SO}(3) \to \operatorname{SU}(2)$

Question

Dado el homomorfismo suryectivo habitual $:\operatorname{SU}(2)\to \operatorname{SO}(3)$ que asigna un cuaternión a una matriz de rotación,

¿Existe una función continua $f:\operatorname{SO}(3)\to \operatorname{SU}(2)$ tal que $\Phi \circ f = \operatorname{Id}$ en $\operatorname{SO}(3)$ ?

En caso afirmativo, ¿cuál sería este mapa?

Gracias

Answer 1

No. Un mapa $f$ como en su pregunta induciría una incrustación de grupos fundamentales $f_* :\pi_1(\text{SO(3)}) \to \pi_1(\text{SU}(2))$ .

Si miras Grupo fundamental de $SO(3)$ Verá que $\pi_1(\text{SU}(2)) = 0$ , mientras que $\pi_1(\text{SO(3)}) = \mathbb{Z}_2$ . Por lo tanto, $f$ no puede existir.

Answer 2

Aquí hay otra prueba. Se sabe que $\Phi$ es una proyección de cobertura con dos hojas. El mapa $f$ sería una sección de $\Phi$ pero esto implicaría que $\Phi$ es un homeomorfismo. Véase Si un mapa de cobertura tiene una sección, ¿es una $1$ -¿Cubierta plegable? .