Son todas las funciones en el espacio de Sobolev $W_0^{1,2}(\Omega)$ ¿contenido y acotado?

Question

Son todas las funciones en $W_0^{1,2}(\Omega)$ , $\Omega$ siendo un dominio acotado en $\mathbb{R}^n$ , $n \geq 2$ continua y acotada en relación con el tiempo. $|.|$ ?. En otras palabras, dado $u\in W_0^{1,2}$ se puede decir que $|u(x)|\leq M$ ( $M>0$ ) $\forall x\in \Omega$ ?

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Mi línea de pensamiento es la siguiente. $W_0^{1}(\Omega)\subset L^2(\Omega)\subset L^1(\Omega)\subset L^0(\Omega)$ , $L^0$ siendo el espacio de las funciones medibles. Es evidente que $\forall u\in W_0^1(\Omega)$ existe una función continua tal que $u=g$ a.e. (por ser una función medible). pero $u=0$ en $\partial\Omega$ por lo que la función $g$ también tiene que ser cero en el límite (Esta fue mi intuición, puedo estar equivocado). Por lo tanto, $g$ está acotado en $\overline{\Omega}$ y por lo tanto $u$ está acotado a.e.

Answer 1

Ejemplo de aquí funciona. En $n\ge 2$ dimensiones, la función $$ u(x) = \begin{cases} \log \log (1+1/|x|),\quad &|x|<1/(e-1) \\ 0,\quad &|x|\ge 1/(e-1) \end{cases} $$ no tiene límites, pertenece a la clase Sobolev $W^{1,n}$ (por lo tanto $W^{1,2}$ ), y desaparece en una vecindad de la frontera de la bola unitaria $B$ (de ahí que esté en $W_0^{1,2}(B)$ ).

Si le preocupa la transición en $1/(e-1)$ , tenga en cuenta que $f$ es Lipschitz lejos del origen, por lo que en cada $W^{1,p}$ en cualquier conjunto abierto a una distancia positiva del origen.