Estoy tratando de mostrar $$\left(\mathbb C[x,y]/(xy)\right)_{x+y}\cong \mathbb C[x^{\pm 1}] \times \mathbb C[y^{\pm 1}].$$ En clase, mi profesor hizo el ejemplo $$\left(\mathbb C[x,y]/(xy)\right)_{x} \cong \mathbb C[x^{\pm 1}]$$ utilizando el hecho de que $A_f \cong A[t]/(tf - 1)$ para un anillo conmutativo $A$ . Estoy tratando de imitar este enfoque. Me parece que $$\left(\mathbb C[x,y]/(xy)\right)_{x+y} \cong \left(\mathbb C[x,y]/(xy)\right)[t]/(t(x+y)-1)$$ $$=\mathbb C[x,y,t]/(xy, t(x+y) - 1).$$ No estoy muy seguro de cómo simplificar este cociente para obtener lo que necesito. Agradecería cualquier ayuda. Gracias.
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Fred
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Desde $\Bbb C[x^{\pm 1}]\times \Bbb C[y^{\pm 1}]$ tiene dos idempotentes ortogonales, $(1,0)$ y $(0,1)$ necesitamos encontrar dos idempotentes ortogonales en $\Bbb C[x,y,t]/(xy,t(x+y)-1)$ . Afirmo que $xt$ y $yt$ basta: no es difícil ver que $xt+yt=t(x+y)=1$ , mientras ve que $(xt)^2=xt(1-ty)=xt$ (y de forma similar para $(yt)^2=yt$ ) requiere un poco más de perspicacia. Esto significa que $R=\Bbb C[x,y,t]/(xy,t(x+y)-1)$ es isomorfo a $Rxt\times Ryt$ .
Ahora podemos comprobar que $Rxt\cong \Bbb C[x^{\pm 1}]$ : escribir un elemento general en $R$ como $p(x,y,t)$ podemos utilizar la relación $xy=0$ para ver que $p(x,y,t)xt=p(x,0,t)xt$ y, a continuación, nuestro cálculo de que $xt$ es idempotente significa que podemos escribirlo unívocamente como $xt(c+\sum c_ix^i + \sum d_jt^j)$ para $c,c_i,d_j\in \Bbb C$ . Desde $x^2t\cdot xt^2=x^3t^3=xt$ podemos definir un mapa suryectivo que envía $x^2t\mapsto x$ y $xt^2\mapsto x^{-1}$ que es inyectiva por la afirmación de que todo elemento de $Rxt$ puede escribirse de forma única como $xt(c+\sum c_ix^i + \sum d_jt^j)$ .
Intuitivamente, lo que sucede aquí es que estás tomando la variedad $V(xy)$ la unión de dos ejes de coordenadas, y desechando todos los puntos que se encuentran en $V(x+y)$ , la antidiagonal. Esto nos da dos copias disjuntas de una línea perforada, que tienen ambas álgebra de coordenadas $\Bbb C[x^{\pm 1}]$ . Por disyunción, el álgebra de coordenadas del par es sólo el producto.
