Distribución de la carga inducida en la simetría esférica

Question

Llevo un tiempo tratando de entender la siguiente situación. Parece algo tan simple y sencillo y sin embargo no encuentro respuestas. Supongamos que tenemos una configuración como la que se muestra en la imagen.

Tenemos una carga q rodeada por un conductor esférico de radios A y B.

Entiendo cómo encontrar tanto el campo E como el potencial para cada región, pero no entiendo qué pasa con la carga dentro del conductor. Por supuesto que dentro de un conductor E=0. La carga se distribuirá entonces en ambas superficies para conseguirlo; así, en la superficie más pequeña tendré un -q carga, y en la superficie exterior, tendré una carga inducida q cargo.

¿Pero qué pasa con la proximidad de ambas superficies dentro del conductor? ¿Se concentraría en ambas superficies y luego simplemente "desaparecería" (como una discontinuidad, como muestra la función naranja) o es un proceso más gradual y continuo, donde la mayor parte de la carga reside en estas superficies y luego rápidamente comienza a decaer a 0? (como la función verde en la misma región está tratando de representar)?

Si luego conecto el conductor a una batería de tensión V=V0, ¿afectaría el potencial a la distribución de la carga de alguna manera? Creo que debería, ya que q= V * r * (4 ) pero de nuevo, todavía tengo que anular el q carga en el centro, por lo que debe permanecer todo igual.

Gracias a todos los que quieran ayudar.

Answer 1

Si se asume que la densidad de carga es bidimensional (como se hace a menudo en los cursos básicos de EM), entonces sí, la carga integrada en el radio $r$ tiene discontinuidades en $r=A$ y $r=B$ . A medida que ascendemos en la escala de complejidad, la distribución de la carga es en realidad tridimensional y cambiará un poco más suavemente "en la realidad", ya que los metales reales no son conductores perfectos.

Curiosamente, si seguimos subiendo en la escala de complejidad, tendremos que reconocer que en realidad no esperamos que la función de carga integrada sea continua, ya que las cargas son discretas y cuantificadas. Y más arriba en la escala de complejidad, observamos que la mecánica cuántica dicta que las posiciones de las cargas ni siquiera están bien definidas, por lo que el concepto de una carga bien definida $Q(r)$ no existe estrictamente.

Con todo esto dicho, lo más importante que hay que recoger es que todo lo que se aprende en EM es sólo un modelo de la realidad. Se puede pensar en la distribución de la carga inducida como 2D o 3D, siempre y cuando nos lleve a los resultados correctos. La realidad es mucho más complicada que ni siquiera podemos utilizar los primeros principios para calcularla

EDIT: Si conectas la esfera exterior a una batería, entonces sí, la distribución de la carga cambiará. Deberías buscar el "método de las imágenes para una esfera a un potencial constante" para ver las matemáticas (muy interesantes) que hay detrás de esto.

Answer 2

Sólo quería seguir con algunas ideas. Creo que me he equivocado: tu última pregunta se responde mejor con técnicas ajenas al método de las imágenes. Esto es, a mi entender, correcto, pero un experto en la materia probablemente debería verificarlo. Yo también quiero saber si estoy en lo cierto, así que considera volver a publicar la última pregunta solamente.

Consideremos un conductor esférico hueco de radio interior $R_A$ y el radio exterior $R_B$ . Un cargo $q$ se coloca en el centro, y un conductor recibe un potencial $V$ . Hay tres regiones a considerar: el interior del conductor, el propio conductor y el exterior del conductor. Nuestro objetivo es encontrar el potencial en las tres regiones.

La solución dentro del conductor es trivial: $V_{II}=V_0$ .

El potencial dentro de la cavidad esférica se calcula por el método de superposición. El potencial debido a la propia carga es $\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}$ mientras que el potencial debido a las dos densidades de carga superficial ( $\sigma_A$ y $\sigma_B$ ) es una constante. Por lo tanto:

$$V_{I}=\alpha+\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}$$

El potencial es continuo en $r=R_a$ (es igual a $V_0$ allí), y podemos usar esto para eliminar $\alpha$ . Así:

$$V_{I}=V_0+\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_A}\right)$$

Esta ecuación me parece correcta, ya que la condición de contorno se cumple y parece satisfacer la ecuación de Poisson:

$$\nabla^2V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\nabla^2 \frac{1}{r}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-4\pi\delta^3(\mathbf{r})\right)=-\frac{q }{\epsilon_0}\delta^3(\mathbf{r})=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

La densidad de carga en $r=R_A$ se puede derivar de la siguiente ecuación en Griffiths Introduction to Electrodynamics (Tercera edición, Sección 2.3.5):

$$\nabla V_{above}(R_A)-\nabla V_{below}(R_A)=-\frac{\sigma_A}{\epsilon_0}\mathbf{\hat n}$$

Te ahorraré los detalles, pero tengo

$$\sigma_A=-\frac{q}{4\pi R_{A}^2}$$

Resulta que la distribución de la carga en la superficie interior no depende del potencial aplicado. Además, se puede ver que la carga total inducida en la superficie interior es $-q$ lo suficiente para neutralizar completamente la carga interna.

El potencial fuera de la esfera puede derivarse considerando la siguiente solución general dada por Griffiths (Tercera Edición, Sección 3.3.2, Ejemplo 3.7):

$$V=\sum_{l=0}^\infty \left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right)P_l(\cos{\theta})$$

Como antes, les ahorraré los detalles, pero resulta que

$$V_{III}=\frac{R_B V_0}{r}$$

La densidad de carga superficial en la superficie exterior se puede derivar como antes. Obtengo

$$\sigma_B=\frac{\epsilon_0 V_0}{R_B} $$

Esto parece tener sentido: si la esfera está conectada a tierra, no se inducirá ninguna carga. Y como $V_0$ aumenta, la carga inducida aumenta.

Estoy seguro de que otros pueden dar un argumento de 2 frases de por qué lo anterior tenía que ser cierto intuitivamente, pero ahí está, a priori.