¿Está Spivak haciendo trampas?

Question

Estoy tratando de entender esta prueba en el libro de Spivak Cálculo sobre colectores página 16:

Cuando leí esto tuve la sensación de que en esta parte Spivak era informal e intuitivo, casi como "haciendo trampa" para tener una prueba más limpia.

Por supuesto, tiene que tener algún argumento formal detrás, pero no pude identificarlo. Creo que tiene que ver con los límites de composición de funciones, donde una de las funciones es $tx$ .

¿Podría alguien aclarar esta parte?

Gracias

Answer 1

Supongamos que sabemos que $\displaystyle \lim_{h \to 0} F(h) = 0$ . Esto significa que por cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $$|h| < \delta \implies |F(h)| < \epsilon.$$

Arreglar $x \in \mathbb{R}^n$ . Si $|t| < \delta/|x|$ entonces $|tx| = |t||x| < \delta$ Así que $|F(tx)| < \epsilon$ . Esto dice exactamente que $\displaystyle \lim_{t \to 0} F(tx) = 0$ .

En su situación, tome $$F(h) := \frac{|\lambda(h) - \mu(h)|}{|h|}.$$

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Edit : Si $\displaystyle \lim_{h \to h_0} F(h) = L$ et $\displaystyle \lim_{t \to t_0} g(t) = h_0$ entonces $\displaystyle \lim_{t \to t_0} F(g(t)) = L$ .

Prueba: Arreglar $\epsilon > 0$ . Por la primera hipótesis límite, existe $\delta_1 > 0$ tal que $$|h - h_0| < \delta_1 \implies |F(h) - L| < \epsilon$$ Por la segunda hipótesis límite, existe $\delta_2 > 0$ tal que $$|t - t_0| < \delta_2 \implies |g(t) - h_0| < \delta_1.$$ Por lo tanto, si $|t - t_0| < \delta_2$ entonces $|F(g(t)) - L| < \epsilon$ . Esto dice exactamente que $\lim_{t \to t_0} F(g(t)) = L$ .

Observación: Hay que tener en cuenta que no es necesaria ninguna hipótesis de continuidad. Una hipótesis de continuidad sobre $F$ sería necesario para demostrar en cambio que $\displaystyle \lim_{t \to t_0}F(g(t)) = F(h_0)$ .

Answer 2

Usted arregla $x \neq 0$ et $h=tx$ para $t \to 0$ . Usted ha demostrado que $$ \lim_{h \to 0} \frac{|\lambda (h)-\mu (h)|}{|h|}=0, $$ así que $$ \lim_{t \to 0} \frac{|\lambda (tx)-\mu (tx)|}{|tx|}=0 $$ también. Pero $\lambda (tx)=t \lambda (x)$ et $\mu (tx)=t \mu (x)$ por la linealidad, y concluyes.

Answer 3

La segunda cadena de desigualdades muestra que $$\lim _{h\to 0} \frac{|\lambda (h) - \mu (h)|}{|h|}=0.$$ Una condición necesaria para la convergencia es que $\phi (t)\to 0$ si $t\to 0$ , donde $\phi$ es el cociente calculado en $tx$ . Es algo así como " $a_n \to a$ implica $a_{n_k}\to a$ para cada subsecuencia $a_{n_k}$ ".

Answer 4

$\mu$ et $\lambda$ son transformaciones lineales y $t$ es un escalar por lo que $$ \mu(tx) - \lambda(tx) =t\mu(x) - t\lambda(x) = |t|(\mu(x) - \lambda(x)). $$ Así que $$ \left|\mu(tx) - \lambda(tx)\right| = |t|\left|\mu(x) - \lambda(x)\right|. $$ También |tx| = |t||x| es una propiedad básica de la norma euclidiana, por lo que $$ \left|\frac{\mu(tx) - \lambda(tx)}{tx}\right|=\frac{|t||\mu(x) - \lambda(x)|}{|t||x|} = \left|\frac{\mu(x) - \lambda(x)}{x}\right| $$ para $ t \neq 0$ .

Spivak afirma $0 = \lim_{t \to 0} \left|\frac{\mu(tx) - \lambda(tx)}{tx}\right|$ . Así que para todos $\epsilon >0$ existe un $\delta >0$ para que cuando $0<t<\delta$ $$ \epsilon > \left|\left| \frac{\mu(tx) - \lambda(tx)}{tx}\right| - 0\right| = \left| \frac{\mu(tx) - \lambda(tx)}{tx}\right| = \left|\frac{\mu(x) - \lambda(x)}{x}\right|. $$

Desde $$ \left|\frac{\mu(x) - \lambda(x)}{x}\right| < \epsilon$$ para todos $\epsilon > 0$ $$ \left|\frac{\mu(x) - \lambda(x)}{x}\right| = 0.$$

Desde $|x| > 0$ entonces $\frac{1}{|x|} > 0$ por lo que debemos tener $$ |\mu(x) - \lambda(x)| = 0$$ ya que no hay elementos nilpotentes en $\mathbb{R}$