Encuentra la función de los números enteros $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^k}{n!}=f(k) \cdot e$

Question

Encuentra la función de los números enteros

$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^k}{n!}={f(k)}\cdot e$$

Tomé muchos valores de $k$ y encontré los siguientes resultados $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^1}{n!}=e$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^2}{n!}=2e$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^3}{n!}=5e$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^4}{n!}=15e$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^5}{n!}=52e$$ y así sucesivamente

Creo que estos valores numéricos son correctos, así que traté de encontrar la función $f(k)$ .

Pueden ayudarme a encontrar la función $f(k)$ y luego probar la serie anterior

Answer 1

Definir la siguiente secuencia

$$h_{k+1}(x) = xh_k'(x)$$

con $h_0(x) = e^x$ . Entonces (por inducción)

$$h_k(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^kx^{n}}{n!}$$

y de ahí se deduce (de nuevo por inducción) que $$h_k(1) \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{n^k}{n!} = f(k) e$$ donde $f(k)$ son números enteros. Para encontrar una expresión para $f(k)$ definir

$$g(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{h_{n}(x)t^n}{n!}$$

entonces

$$g(x,t) = \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty \frac{(kt)^n}{n!k!}x^k = e^{xe^t}$$

y tomando $x=1$ se deduce que

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{f(n)x^n}{n!} = e^{e^x -1}$$

que es la función de generación exponencial para el Números de campana .

Answer 2

La función $F(x) = e^x$ viene dada por $$F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ y por lo tanto tiene $k$ ª derivada $$F^{(k)}(x) = \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) \cdots (n - (k-1)) \frac{x^n}{n!} = k!\sum_{n=0}^\infty \binom{n}{k} \frac{x^n}{n!}.$$ (Estoy siendo muy arrogante aquí sobre la suma, pero los argumentos de convergencia uniforme estándar harán que el enfoque sea riguroso). Pero $F^{(k)}(x) = F(x)$ Así que $$\sum_{n=0}^\infty \binom{n}{k} \frac{x^n}{n!} = \frac{1}{k!} f^{(k)}(1) = \frac{e}{k!}.$$ Reescribiendo los polinomios $n^k$ en términos de $\binom{n}{m}$ da el resultado deseado.