Coeficientes de función sobre grupo abeliano finito

Question

Dejemos que $B \subseteq A$ dos grupos abelianos finitos. Además, dejemos que $f\in k^A$ sea una función sobre $A$ , s.t. $$ \sum_{a \in A}\, f(a)\xi([a]) =0$$ para todos los caracteres $\xi \in \widehat{A/B}$ . ¿Implica esto que $f(a)=0$ para todos $a \notin B$ ?

Answer 1

Eso no es cierto. Si $k=\mathbb{C}$ podemos tomar $A=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$ y $B=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,2\}$ . El grupo $A/B$ sólo tiene dos elementos ( $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $1+\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ )

Así que la suposición da para el carácter trivial que $f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0$ y para el otro personaje que $f(0)-f(1)+f(2)-f(3)=0$

Esto claramente no significa que $f(1),f(3)=0$ . Por ejemplo, si tomamos $f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=1$