Dejemos que $A$ sea $m\times n$ y $B$ sea $n\times m$ matriz sobre número real con $m<n$ .

Question

Dejemos que $A$ sea $m\times n$ y $B$ sea $n\times m$ matriz sobre número real con $m<n$ . Entonces

1. $AB$ es siempre no singular.

2. $AB$ es siempre singular.

3. $BA$ es siempre no singular

4. $BA$ es siempre singular.

1. Falso, ya que $A=0$ , $B=0$ $\implies$ $AB=0$ .

2. No tiene por qué ser cierto. Dejemos que $x$ sea $1\times n$ matriz. Ya que, $x x^T\ge 0$

3. Utilizando el mismo razonamiento 3 puede ser falso.

¿Cuál es la garantía de que $BA$ ¿es siempre singular? Si $A=x\neq 0, B=x^t.$ Entonces $BA$ es singular. ¿Cómo puedo demostrar que en general?

Answer 1

$BA \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ,

pero $rank(BA)\le \min\{rank(A) ,rank(B) \} \le m<n$

Por lo tanto, debe ser singular.

Answer 2

Alternativamente, $A$ es $m \times n$ y $m<n$ implica $Ax=0$ tiene una solución no nula, digamos $x_0$ . El mismo no cero $x_o$ es la solución de $(BA)x=0$ ¡también! Así que $BA$ debe ser singular