Un conjunto $A$ con operación de suma y multiplicación se da. Demostrar que el conjunto $A$ satisface todos los axiomas para ser un anillo conmutativo con unidad. Indique el elemento cero, la unidad y el negativo de un arbitrario $a$ .
$A$ es el conjunto $\mathbb{Z}$ de los enteros, con la siguiente adición $+$ y la multiplicación $*$
$a+b=a+b-1$
$a*b=ab-(a+b)+2$
Así que lo anterior son los axiomas.
Para el axioma 1:
Sabemos que los enteros $\mathbb{Z}=A$ forman un grupo abeliano, por lo que A es un grupo abeliano bajo adición.
Para el axioma 2:
La multiplicación de enteros es asociativa.
Para $a$ en $\mathbb{Z}$ , $a \times 1=a$ se mantiene.
Para el axioma 3:
Ahora es el momento de utilizar las ecuaciones anteriores.
En primer lugar, tenemos que mostrar:
$$ a\times (b+c)=(a \times b)+(a \times c)$$ para todos $a,b,c$ en $\mathbb{Z}$
$$b+c=b+c-1$$ $$ a\times (b+c)=a(b+c-1)-(a+b+c-1)+2=ab+ac-a-a-b-c+1+2=ab+ac-2a-b-c+3$$
$$ a\times b=ab-(a+b)+2$$ $$ a \times c=ac-(a+c)+2$$ $$(a \times b)+(a \times c)=(ab-(a+b)+2)+(ac-(a+c)+2)-1=ab-a-b+2+ac-a-c+2-1=ab-2a-b+ac-c+3$$
Por lo tanto, son iguales.
Ahora tenemos que demostrar la segunda parte del axioma 3:
$$(b+c) \times a=(b \times a)+(c \times a)$$ para todos $a,b,c$ en $\mathbb{Z}$
$$b+c=b+c-1$$ $$(b+c) \times a=(b+c-1)(a)-(b+c-1+a)+2=ab+ac-a-b-c+1-a+2=ab+ac-2a-b-c+3$$
$$ b \times a=ba-(b+a)+2$$ $$ c \times a=ca-(c+a)+2$$ $$ (b \times a)+(c \times a)=(ba-(b+a)+2)+(ca-(c+a)+2)-1=ba-b-a+2+ca-c-a+2-1=ab-b-2a+ac-c+3$$
que también es lo mismo. Por lo tanto, esto es un anillo.
¿Alguien puede verificarlo?
