¿Si existe el mejor estimador insesgado entonces es el estimador de máxima verosimilitud?

Question

Nuestro profesor demostró en clase que si existe el mejor estimador insesgado, entonces es un MLE utilizando un teorema que dice que si $\hat{\theta}-\theta$ es proporcional a la puntuación de $\theta$ con probabilidad $1$ entonces $\hat{\theta}$ es el mejor estimador insesgado, ya que alcanza el límite CR.

En general, sé que la MLE alcanza el límite CR asintóticamente. Así que tengo dudas sobre si la afirmación del título es válida para una muestra finita. ¿Podría alguien proporcionar alguna información sobre la relación entre el mejor estimador insesgado y la MLE en el caso de la muestra finita (y la prueba)?

Answer 1

Esto no puede ser cierto como teorema general, ya que hay situaciones en las que el MLE no es insesgado, pero existen otros estimadores insesgados. Por ejemplo, esto ocurre cuando se estima el parámetro $\theta$ en el modelo $X_1, ..., X_n \sim \text{IID U}[0, \theta]$ . En estas situaciones, el mejor estimador insesgado debe pertenecer a la clase de los estimadores insesgados (que no está vacía), por lo que no puede ser el MLE.

Es de suponer que su profesor lo demostró bajo algunas condiciones suficientes adicionales, en cuyo caso sería una buena idea comprobar las condiciones requeridas.