$\cos x − 2\sin x = 1$ . Cómo resolver utilizando $R\cos(x+a)$ ?

Question

Tengo esta pregunta: $\cos x 2\sin x = 1$ . Tienes que resolver para $x$ La respuesta es 4.069. He intentado responder pero sigo obteniendo 2,214. Este es mi método:

$\cos x 2\sin x = 1$

$R\cos(x+a)= 1$

$R = \sqrt{1^2 + (-2)^2}$

$a = \arctan(-2/1)$

por lo tanto $\sqrt5 \cos(x - 1.107) = 1$

$\cos(x - 1.107) = \sqrt5/5$

$\arccos(\sqrt5/5) = x - 1.707$

$1.707 = x - 1.707$

por lo tanto $x = 2.214$

¿Alguien puede darme una pista de dónde me estoy equivocando? Gracias

Answer 1

$$\begin{align} \cos x-2\sin x&=R\cos(x+\alpha)\\[1ex] &=R\cos x\cos\alpha-R\sin x\sin\alpha \end{align}$$

$$\implies\begin{cases}R\cos\alpha=1\\R\sin\alpha=2\end{cases}$$

Dividiendo las expresiones de la segunda ecuación entre las de la primera se obtiene

$$\frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\tan\alpha=2\implies \alpha=\tan^{-1}(2)+n\pi$$

(donde $n\in\mathbb Z$ )

Si se toman los cuadrados y se suman, se obtiene

$$(R\cos\alpha)^2+(R\sin\alpha)^2=1^2+2^2\implies R^2=5\implies R=\pm\sqrt5$$

Tome $R=\sqrt5$ y $n=0$ para que

$$\cos x-2\sin x=\sqrt 5\cos(x+\tan^{-1}(2))=1$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

$$a=\arctan\left(\frac{2}{1}\right)$$ no $$\arctan\left(\frac{-2}{1}\right)$$ Esto se debe a que está utilizando $R\cos(x+a)$ en lugar de $R\cos(x-a)$ .

Si necesita más ayuda, no dude en pedirla.