Sobre cierta propiedad de los diferentes de una extensión de un campo numérico algebraico de grado relativo primo

Question

Dejemos que $K$ sea un campo numérico algebraico. Sea $A$ sea el anillo de enteros en $K$ . Sea $L$ sea una extensión de $K$ de un grado primo $p$ . Sea $B$ sea el anillo de enteros en $L$ . Sea $\mathfrak{D}_{L/K}$ sea el diferente de $L/K$ . Supongamos que cada factor primo de $\mathfrak{D}_{L/K}$ no divide $p$ . Sea $\alpha \in A$ . Supongamos que $X^p - \alpha$ no tiene una raíz en $K$ . Sea $\Gamma$ sea un elemento de B tal que $\Gamma^p = \alpha$ .

Mi pregunta: ¿Es cierta la siguiente proposición? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo la demostraría?

Propuesta $\Gamma$ es divisible por cada factor primo de $\mathfrak{D}_{L/K}$ . En particular, $\Gamma$ no es una unidad.

Motivación Esto surgió de la siguiente pregunta.

¿Existe una unidad puramente imaginaria en el campo numérico ciclotómico de un grado primo impar?

Answer 1

Tenga en cuenta que $B$ contiene la orden $A[\Gamma] = A[X]/(X^p - \alpha),$ y por lo que la diferencia de $B$ (es decir $\mathfrak D_{L/K}$ ) contiene los diferentes de $A[\Gamma]$ que es igual a $p\Gamma^{p-1}$ . Así, todo factor primo de $\mathfrak D_{L/K}$ divide $p \Gamma^{p-1}$ . Por supuesto, todos ellos son primos a $p$ por lo que, de hecho, todo factor primo de $\mathfrak D_{L/K}$ divide $\Gamma^{p-1}$ y así se divide $\Gamma$ . Por lo tanto, la primera parte de su proposición es verdadera.

La segunda parte es no verdadero, porque $\mathfrak D_{L/K}$ podría ser la unidad ideal. Por ejemplo, tomar $p = 2$ , $K = \mathbb Q[\sqrt{-5}]$ y $L = \mathbb Q[\sqrt{-5},i]$ , con $\alpha = -1$ y $\Gamma = i$ .