¿Es la paralelizabilidad equivalente a que el conjunto de campos vectoriales sea libre?

Question

Tenemos la $C^{\infty}(M)$ -Módulo $\mathcal{D}^1(M)$ de campos vectoriales sobre a $C^{\infty}$ colector $M$ . ¿Ser paralelizable equivale a que este módulo sea libre, de dimensión $n$ ?

Tengo la impresión de que sí, ya que podemos tomar como base la $n$ campos vectoriales dados por la suposición de que $M$ es paralelizable y descomponer cada campo vectorial en sus componentes en cada espacio tangente, y recíprocamente la base del módulo daría los campos vectoriales necesarios para la paralelizabilidad. ¿Se me escapa algo?

Si esto es cierto, ¿es posible que $\mathcal{D}^1(M)$ para ser un módulo libre de una dimensión diferente, que no sea $n$ ?

Answer 1

Eso es correcto, aunque necesitas decir algunas palabras para justificar la afirmación de que si $n$ Los campos vectoriales forman una base para $\mathcal{D}^1(M)$ en $C^\infty(M)$ entonces son linealmente independientes en cada punto (esas palabras son, si no fueran linealmente independientes en un punto, entonces algún vector tangente en ese punto sería linealmente independiente de ellos, y entonces un campo vectorial que toma ese valor en el punto no podría estar en su tramo sobre $C^\infty(M)$ ).

Es imposible que $\mathcal{D}^1(M)$ estar libre de cualquier otro rango. Una forma de demostrarlo es observar que para cualquier $p\in M$ El ideal es $I_p\subset C^\infty(M)$ de funciones que desaparecen en $p$ es un ideal maximal con cociente $\mathbb{R}$ y que $I_p\mathcal{D}^1(M)$ son exactamente los campos vectoriales que desaparecen en $p$ (esto no es del todo obvio, pero es fácil a nivel local y se sigue a nivel global utilizando funciones de bump). Así, $\mathcal{D}^1(M)/I_p\mathcal{D}^1(M)$ puede identificarse naturalmente con el espacio tangente en $p$ y por lo tanto debe ser $n$ -sobredimensionado $C^\infty(M)/I_p\cong\mathbb{R}$ . Así que si $\mathcal{D}^1(M)$ es libre, sólo puede ser de rango $n$ .