Ejercicios sobre funciones continuas

Question

Considere una función continua $f \, : \, [0,1] \, \longrightarrow \, [0,+\infty)$ tal que $f(0)=f(1)=0$ y el : $\forall x \in (0,1), \; f(x) > 0$. Me gustaría demostrar que no existe $x_{1},x_{2} \in [0,1]$ $x_{1} < x_{2}$ que $f(x_{1}) = f(x_{2}) = x_{2}-x_{1}$.

Si asumimos que el $x_{1}$ $x_{2}$ existen, entonces vamos a $a = x_{2}-x_{1} > 0$ y vemos que la ecuación de $f(x_{1})=f(x_{2})=a$ se convierte en : $f(x_{1}) = f(x_{1}+a) = a$. Por lo tanto, $f(x_{1}) = f\big( x_{1}+f(x_{1}) \big)=a$. Pero no veo cómo esto me ayudará a encontrar a $x_{1}$.

Answer 1

Extender $f$ $0$ fuera del intervalo de $[0,1]$, por lo que ahora se define en $\mathbb{R}$ (y es todavía continua). Su requisito es equivalente a $x_2=x_1+f(x_1)$, $f(x_2)=f(x_1)>0$, $x_1,x_2\in [0,1]$.

Así que basta para encontrar $x_1\in (0,1)$ tal que $f(x_1+f(x_1))=f(x_1)$ (poner los $x_2:=x_1+f(x_1)$ obtenemos $x_2>x_1$ y, desde $f(x_2)=f(x_1)>0$, obtenemos $x_2\in (0,1)$).

Por lo tanto queremos encontrar un cero de $s(x):=f(x+f(x))-f(x)$. Claramente $s(\overline{x})\le 0$ en el punto de $\overline{x}\in (0,1)$, lo que da cuenta el máximo de $f$. Pero por la continuidad usted puede encontrar a $z\in (0,1)$ tal que $z+f(z)=\overline{x}$ (desde $x\mapsto x+f(x)$ corrige $0$$1$), por lo que también consigue $s(z)=f(\overline{x})-f(z)\ge 0$. Por lo tanto, de nuevo por la continuidad, $s$ debe tener un cero entre el $\overline{x}$$z$.