Aclaración sobre el cálculo del invariante de Riemann para la ecuación de aguas poco profundas

Question

La ecuación de las olas en aguas poco profundas viene dada por : $$ \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} _t + \begin{bmatrix} u & h \\ g & u \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} _x $$

Los valores y vectores propios son : $\lambda_\pm = u \pm \sqrt{gh} \quad r_\pm =\begin{bmatrix} h \\ \pm \sqrt{gh} \end{bmatrix}$

Este documento esboza cómo calcular el invariante de Riemann. En particular, utilizando los componentes de los vectores propios (digamos para el positivo) escriben: $$0 = h \, du + \sqrt{gh} \, dh = h\left(du + \sqrt{\frac g h}\,dh\right) = h\,\,d(u + 2\sqrt{gh})$$

Sigo el cálculo, pero en el vector propio, parece que el primer coeficiente está asociado al $h$ -coordenada (en este caso $h$ ) y la segunda está asociada al $u$ -coordenada (en este caso $\sqrt{gh}$ ). Sin embargo, cuando escriben el diferencial, asocian $h$ con $du$ y $\sqrt{gh}$ con $dh$ . Esto me confunde, ¿por qué se cambia el diferencial?

Answer 1

Se utilizan los vectores propios de la izquierda, no los de la derecha. Esto se debe a que se busca una función de $w=(h,u)$ que es constante en una de las curvas donde $\frac{dx}{dt}=\lambda$ . Si $f$ es una función de este tipo, entonces en esa curva se tiene por la regla de la cadena $$0=\frac{df}{dt}= [f_h \, f_u](w_t+\lambda w_x)=[f_h \, f_u](-A+\lambda)w_x.$$ Esto se cumple si el gradiente de $f$ es un vector propio izquierdo.

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En primer lugar, hay que tener en cuenta que $(\sqrt{gh} \, h)$ es un vector propio izquierdo de $\begin{bmatrix} u & h \\ g & u \end{bmatrix}$ para que tengamos: \begin{align} 0 &= \left[\sqrt{gh} \quad h\right] \left( -\begin{bmatrix} u & h \\ g & u \end{bmatrix} + \lambda\right) \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} _x \\ & \text{continuación...} \\ &= h\left[\sqrt{frac g h} \quad 1\right] \left( \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} _t + \lambda \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} (derecha) \fin{spanish} Dejar $f_h = \sqrt{\frac g h}, f_u = 1, \lambda = \frac{dx}{dt}$ que tenemos: \begin{align} &= h\left[f_h \quad f_u\right] \left( \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} _t + \frac{dx}{dt} \begin{bmatrix} h \\ u \end{bmatrix} (derecha) &= h \frac{df}{dt} \fin{align} Donde $f = u + 2\sqrt{gh}$ es constante a lo largo de las características dadas por $\lambda$ ( $h$ es distinto de cero en general).