¿Por qué el valor mínimo de $x^x$ igual $1/e$ ?

Question

El gráfico de $y=x^x$ se ve así:

Como podemos ver, el gráfico tiene un valor mínimo en un punto de inflexión. Según WolframAlpha, este punto está en $x=1/e$ .

Sé que $e$ es el número de crecimiento exponencial y $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ pero estas ideas parecen no tener relación con el hecho de que el valor mínimo de $x^x$ es $1/e$ . ¿Es esto una pura coincidencia, o alguien podría dar una explicación intuitiva (es decir, algo más que una prueba) de por qué esto es así?

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $x^x = e^{x\log x}$ .

Así que minimizar $x^x$ es lo mismo que minimizar $x\log x$

Answer 2

Sugerencia En realidad estás buscando un mínimo local/global así que mira la derivada de la función $f(x) = x^x$ $$f'(x) = x^x (\log (x)+1)$$ que es igual a $0 \iff x = \frac{1}{e}$

Answer 3

Intenta minimizar el logaritmo de $ y= x^x,$ es decir, $y=x \, \log x$

Su derivado es

$$ 1 + \log(x) $$

Cuando se iguala a cero, se resuelve que el mínimo de $y(x)$ ocuurs en

$$ x= \dfrac{1}{e}= 0.36788$$

y el valor mínimo es

$$ y_{min}= \dfrac{1}{{e}^{\frac{1}{e}}} \approx 0.6922$$

El pequeño punto rojo que aparece en su gráfico para el mínimo es:

$$ (x,y) = (0.36788, 0.6922) $$

Tenga en cuenta que el valor mínimo no es $\dfrac{1}{e}\, ! \, $ ... pero es el recíproco de $e^{th} $ raíz de $e.$