¿Por qué las permutaciones se definen como biyectivas?

Question

Ahora mismo estoy aprendiendo sobre las permutaciones. Esta es la definición que aparece en mi libro de texto y que también aparece en la Wikipedia.

Una permutación de un conjunto $X$ es una biyección $p: X \rightarrow X$ en ese conjunto

Todas las definiciones de permutación que he visto afirman que las permutaciones sobre un conjunto X son biyectivas. Estoy intentando razonar esto formalmente, pero creo que no lo estoy haciendo bien. Para que una permutación sea biyectiva sobre un conjunto $X$ la función debe ser unívoca y onto.

Definamos un conjunto con $n$ elementos como $X_n = \{1,2,\dots n\}$ . Las permutaciones de $X_n$ total $n!$ . Cada elemento en $X_n$ tendrá $1!, 2!, \dots n!$ permutaciones. Ahora me parece bastante claro que esto es uno-a-uno y sobre, pero ¿cómo puedo declarar esto más formalmente para hacer la conclusión más obvia para los demás?

Answer 1

Con las permutaciones estamos contando todas las formas de reordenar los elementos en un conjunto de $n$ elementos. Es evidente que utilizamos cada elemento y que los elementos del codominio son del mismo tamaño, por lo que naturalmente la función es biyectiva.

Answer 2

Imagen de la Explicación

Una forma de visualizar este concepto es pensar en el plano de coordenadas cartesianas. Si mi función no supera la prueba de la línea horizontal, entonces no es inyectiva. Si cada y no tiene una entrada x correspondiente que la mapee, entonces no es suryectiva.

Answer 3

Se deduce de la definición de una permutación realmente. En términos básicos, si tienes una línea de n objetos, una permutación es una reordenación de esos objetos. No se amplía el número de posiciones disponibles ni se reduce el número de objetos, por lo que todas las posiciones de la nueva línea se llenan con los objetos originales. Se trata de un onto. Como no podemos tener dos objetos que ocupen la misma posición en la línea, también es uno a uno. Por tanto, es biyectiva.