No solubilidad de una ecuación de Pell

Question

Tengo esta ecuación Pell $$x^2-223y^2=-3$$ Sé que no hay soluciones sobre los enteros. ¿Cómo puedo demostrarlo sin usar cosas como fracciones continuas? He intentado reducir modulo algún primo pero no encuentro nada

Answer 1

Imagino que alguien aparecerá y dará una prueba coherente con el libro que estás leyendo, Marcus creo.

Mientras tanto, como formas cuadráticas binarias indefinidas, hay seis clases, donde (4.) y (5.) son "opuestas" y están en el género principal. Éstas se asignan a un grupo de clases ideal de tres elementos; una forma y la forma mutiplicada por $-1$ se envían al mismo ideal.

    1.             1          28         -27   cycle length             4
    2.            -1          28          27   cycle length             4
    3.             3          28          -9   cycle length             6
    4.            -3          28           9   cycle length             6
    5.             9          28          -3   cycle length             6
    6.            -9          28           3   cycle length             6

  form class number is   6

La clase principal tiene este ciclo de Lagrange de formas reducidas

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle  1 28 -27

  0  form              1          28         -27

           1           0
           0           1

To Return  
           1           0
           0           1

0  form   1 28 -27   delta  -1     ambiguous  
1  form   -27 26 2   delta  13
2  form   2 26 -27   delta  -1     ambiguous  
3  form   -27 28 1   delta  28
4  form   1 28 -27

  form   1 x^2  + 28 x y  -27 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc 892 dSqrt 29  M_Ratio  841
Automorph, written on right of Gram matrix:  
14  405
15  434
=========================================

y representa (primitivamente) $-27$ pero no $-3.$ Sabemos que $-3$ debe estar representado por una o dos formas del discriminante (si son dos, clases opuestas)

y aquí hay uno:

---

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle  -3 28 9 

  0  form             -3          28           9

           1           0
           0           1

To Return  
           1           0
           0           1

0  form   -3 28 9   delta  3
1  form   9 26 -6   delta  -4
2  form   -6 22 17   delta  1
3  form   17 12 -11   delta  -1
4  form   -11 10 18   delta  1
5  form   18 26 -3   delta  -9
6  form   -3 28 9

  form   -3 x^2  + 28 x y  9 y^2 

minimum was   3rep   x = 1   y = 0 disc 892 dSqrt 29  M_Ratio  93.44444
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-14  135
45  -434
=========================================