¿Existe un equilibrio de Nash en el modelo de Bertrand con ventajas de costes?

Question

El equilibrio de Nash del modelo clásico de Bertrand es que el precio de ambas empresas es igual a su coste marginal.

Ahora bien, si una de las empresas tiene una ventaja de costes, es decir, el coste marginal de la empresa $i$ es $c_i$ y $c_1<c_2$ y sus funciones de beneficio son $$ \pi_i(p_1,p_2)=\begin{cases} 0,&p_i>p_j,\\ q(p_i-c_i)/2,&p_i=p_j,\\ q(p_i-c_i),&p_i<p_j. \end{cases} $$ donde $i=1,2$ y $j=3-i$ .

Creo que el equilibrio debería ser $p_1$ es "un poco" menos que $c_2$ y la empresa 2 no vende nada. Pero, como pueden fijar su precio de forma "continua", ¿es la palabra "un poco" disponible o "correcta" para describir un equilibrio de Nash?

Answer 1

No, si los precios son continuos, no existe ningún equilibrio. Esto se suele llamar el "problema del conjunto abierto". Tal y como escribes en tu explicación, el jugador que tiene la ventaja de los costes quiere rebajar al otro por una pequeña cantidad, digamos $\epsilon$ a $c_2-\epsilon$ . Sin embargo, para todos los $\epsilon>0$ Hay una estrategia mejor. Por ejemplo, establecer $p_1=c_2-\epsilon/2$ . Con un argumento similar se pueden descartar las estrategias mixtas.

Suele haber dos enfoques para solucionar esto. En primer lugar, suponer que los precios tienen que ser discretos. En este caso, el equilibrio consiste en que el jugador débil elige el precio más bajo de la parrilla de precios que esté débilmente por encima de $c_2$ y el jugador fuerte elige el siguiente precio más bajo en la parrilla de precios. En segundo lugar, supongamos que los empates se rompen a favor del jugador más fuerte. Es decir, si ambos jugadores fijan el mismo precio, el jugador fuerte se queda con toda la demanda. Esto puede tener sentido si se interpreta el juego de Bertrand como una subasta de primer precio.