Grado del componente de energía cinética en el Hamiltoniano para cualquier molécula

Question

Al leer "Density functional theory of atoms and molecules" de Parr y Yang, no estaba seguro de lo que significa esta frase cuando se introduce el teorema de Virial.

Supongamos que tengo un hamiltoniano $\hat{H}$ para que describa alguna molécula.

"El componente de energía cinética $\hat{T} = \sum_i\frac{1}{2}\nabla_i^2$ es de grado -2 en coordenadas de partículas". Entiendo que el laplaciano toma el parcial dos veces para cada coordenada espacial $x,y,z$ y luego toma la suma, pero me cuesta ver por qué eso significa que es grado -2? A no ser que esté malinterpretando completamente lo que se quiere decir con "grado -2 en coordenadas de partículas".

Queda mucho más claro lo que significa el grado en coordenadas de partículas cuando se describe la componente de energía potencial. "La componente de energía potencial $\hat{V} = \hat{V}_{nn}+\hat{V}_{ne}+\hat{V}_{ee}=\sum_{\alpha<\beta}\frac{Z_\alpha Z_\beta}{r_{\alpha\beta}}-\sum_{\alpha,i}\frac{Z_\alpha}{r_{\alpha i}} + \sum_{i<j}\frac{1}{r_{ij}}$ es claramente de grado -1 en las coordenadas de la partícula ya que puedo identificar claramente la dependencia de 1/r para todos los términos de potencial.

Entonces, ¿alguien puede aclarar qué significa este término de energía cinética de grado -2? Gracias.

Answer 1

Imagino que a lo que se refiere el libro son las potencias asociadas a la dimensión de longitud L de los diferentes términos. Como bien dices, la dimensión de $1/r$ es L $^{-1}$ que me imagino que es lo que el "grado $-1$ " se refiere. Del mismo modo, la dimensión de $\nabla^2$ es L $^{-2}$ , que es probablemente lo que el "grado $-2$ " se refiere. Para ver que la dimensión de longitud de $\nabla^2$ es L $^{-2}$ se puede considerar simplemente el aspecto del término en coordenadas cartesianas:

$$ \nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}. $$