Evitar los patrones $\underbrace{0... 0 ...0}_{k^{*}\text{ times}}1$ de los últimos dígitos en las casillas

Question

Me gustaría proponer la siguiente conjetura, que creo que es cierta, pero no tengo idea de cómo acercarme a una posible soulución.

Si tomamos un conjunto de cuadrados naturales $1,4,9,16,25,...$ entonces creo que la última $k$ Los dígitos (escritos, por ejemplo, en notación decimal) evitan algunos patrones, más concretamente, creo que lo siguiente es cierto:

Existe algún número natural $k^{*}$ tal que no hay ningún cuadrado natural que termine en $\underbrace{0... 0 ...0}_{k^{*}\text{ times}}1$ .

¿Es esto cierto?

Answer 1

No es cierto.

Tenga en cuenta que $101^2 = 10201$ , $1001^2 = 1002001$ , $10001^2 = 100020001$ y así sucesivamente.

De hecho, para cualquier número cuadrado $k^2$ tenemos : $$ (l \times 10^n + k)^2 = 10^{n}(l^2 10^n + 2lk) + k^2 $$

Esto demuestra dos cosas:

• Para todos $k^2$ existen cuadrados que terminan en $k^2$ , $0k^2,00k^2$ etc.

• Para cada $k^2$ y un número fijo de ceros $m$ variando $l$ también podemos encontrar infinitos números cuadrados que terminan exactamente en $...\underbrace{0000}_{m\ \mathrm{ zeros}} k^2$ .

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Answer 2

No es cierto. Para cualquier $k^*$ existe un número cuyo cuadrado termina así. En particular,

$$\Big(1\underbrace{00\dots0}_{k^*}1\Big)^2=1\underbrace{00\dots0}_{k^*}2\underbrace{00\dots0}_{k^*}1$$