Cómo puedo reordenar el par ordenado $(ac+bd, ad+cb)$ para utilizar menos multiplicaciones?

Question

Tengo un par ordenado $(ac+bd, ad+cb)$ donde $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son números naturales. ¿Cómo puedo reordenar ese par, de modo que se utilicen exactamente 3 multiplicaciones, 3 sumas y 1 resta?

He intentado colocar algunos de los factores fuera de los paréntesis para cada componente del par, pero eso siempre implica una división. Creo que tengo que añadir variables adicionales de alguna manera, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.

¿Puedes darme una pista?

Answer 1

[No es una respuesta a la pregunta exacta anterior, que fue respondida en los comentarios, sino una optimización adicional].

Si la división por $2$ se considera "fácil", se puede hacer en dos multiplicaciones.

Específicamente:

$$(a+b)(c+d)+(a-b)(c-d) = 2(ac+bd)$$ y $$(a+b)(c+d)-(a-b)(c-d)=2(ad+bc)$$

Así que sólo hay que calcular las multiplicaciones $(a+b)(c+d)$ y $(a-b)(c-d)$ (si la división por 2 es "fácil".)

De lo contrario, utilice el método de los comentarios anteriores.

[Obtuve esta respuesta considerando su salida como la salida de una multiplicación matricial del $2\times 2$ matriz $A=[a,b;b,a]$ con el vector columna $(c,d)^T$ . Luego encontré los vectores propios de $A$ para ser $v_1=(1,1)^T$ y $v_2=(1,-1)^T$ con los correspondientes valores propios $a+b$ y $a-b$ . Entonces escribí $(c,d)^T=\frac{c+d}{2}v_1 + \frac{c-d}{2}v_2.$ En retrospectiva, la respuesta es obvia, pero a menudo se encuentran cálculos más rápidos de esta manera: la representación como un cálculo de álgebra lineal, y luego el uso de valores y vectores propios para "simplificar"].