Para cualquier grupo libre $F$ generado por el conjunto $S$ se puede construir un gráfico específicamente un ramillete de círculos $X$ s.t $\pi_1(X)=F$ . Mi pregunta es: ¿Significa esto que los grupos libres son isomorfos a un producto libre de $\mathbb {Z}$ ? por ejemplo, el grupo libre generado por el conjunto $\{a,b,c,d\}$ es isomrfico a $\mathbb {Z}*\mathbb {Z}*\mathbb {Z}*\mathbb {Z}$ . Si no es así, necesito alguna explicación para entenderlo. Gracias de antemano.
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Rakshya
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Una posibilidad es utilizar propiedades universales. Para el producto libre:
Dejemos que $H$ y $K$ sean dos grupos. Existe una única tripa $(G,i,j)$ con $G$ un grupo y $i: H \to G$ , $j : K \to G$ dos monomorfismos satisfactorios: Para cualquier grupo $G'$ y cualquier morfismo $\varphi_1 : H \to G'$ y $\varphi_2 : K \to G'$ existe un morfismo $\phi : G \to G'$ tal que $\varphi_1= \phi \circ i$ y $\varphi_2= \phi \circ j$ .
Para el grupo libre:
Dejemos que $S$ sea un conjunto. Existe un único grupo $F(S)$ tal que para cualquier grupo $H$ cualquier función $f : S \to H$ se extiende a un morfismo $\tilde{f} : F(S) \to H$ .
Así, se puede demostrar que el grupo libre $\mathbb{F}_n$ de rango $n$ es isomorfo al producto libre $\mathbb{Z} \ast \dots \ast \mathbb{Z}$ de $n$ copias de $\mathbb{Z}$ .
