Si $x+y+z=1$ y $x,y,z>0\,$ encontrar $\min xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2$

Question

Si $x+y+z=1$ y $x,y,z>0\,$ encontrar el mínimo de $xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2$

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribir la expresión como $xy(1-z)^2+yz(1-x)^2+zx(1-y)^2$

$ = xy(1+z^2-2z)+yz(1+x^2-2x)+zx(1+y^2-2y)$

$ = xyz(x+y+z)+(xy+yz+zx)-6xyz= xy+yz+zx-5xyz$

Ahora como puedo solucionarlo después de eso, se requiere ayuda, gracias

Answer 1

El mínimo no existe, pero se pueden alcanzar valores arbitrariamente pequeños dejando que $x,y\to0$ , $z\to1$ es decir, el infimo es $0$ .

Explícitamente, $x=y=\varepsilon$ y $z=1-2\varepsilon$ da $$xy(x+y)^2+yz(y+z)^2+zx(z+x)^2\leq3\times\varepsilon\cdot1\cdot(1+1)^2=12\varepsilon.$$