Teoría de grupos en la relatividad general

Question

En Relatividad Especial, el Grupo de Lorentz es el conjunto de matrices que preservan la métrica, es decir $\Lambda \eta \Lambda^T=\eta$ .

¿Hay algún equivalente en la Relatividad General, como: $\Lambda g \Lambda^T=g$ ?

(Al menos podríamos tomar localmente $g\approx\eta$ , con lo que recuperamos el grupo de Lorentz, pero no sé si podríamos extender esta propiedad globalmente).

¿Por qué la Teoría de Grupos tiene mucha menos importancia en la Relatividad General que en la QFT y la física de partículas?

Answer 1

Como usted señala, la métrica de Minkowski $\eta = \mathrm{diag}(-1,+1, \dots, +1)$ en $d+1$ dimensiones posee una simetría global de Lorentz. Una forma elegante de decir esto es que el grupo de isometría (global) de la métrica es el grupo de Lorentz. Pues bien, las traslaciones también son isometrías de Minkowski, de modo que el grupo de isometrías completo es el grupo de Poincare.

La noción general de isometría que se aplica a los espaciotiempos arbitrarios se define como sigue. Sea $(M,g)$ sea una variedad semi-Riemanniana, entonces cualquier difeomorfismo $f:M\to M$ (transformación de coordenadas esencialmente) que deja invariante la métrica se denomina una isometría de este colector.

Una noción estrechamente relacionada que suele ser útil en relación con las isometrías es la de Vectores asesinos . Intuitivamente un vector matador de una métrica genera una isometría "infinitesimal" de una métrica dada. Intuitivamente esto significa que cambian muy poco bajo la acción de las transformaciones generadas por los vectores de Matanza.

Las isometrías y los vectores de Killing son una razón importante por la que la teoría de grupos es relevante en la RG. Los vectores de matanza a menudo satisfacen relaciones de conmutador de campo vectorial que forman un Álgebra de Lie de algún grupo de Lie.

Addendum (28 de mayo de 2013). Observaciones sobre los espacios simétricos y la física.

Se puede demostrar que en $D$ dimensiones, una métrica puede poseer como máximo $D(D+1)/2$ vectores de muerte independientes. Cualquier métrica que tenga este número máximo de vectores asesinos se dice que es máxima simetría .

Ejemplo. Considere $4$ -espacio de Minkowski $\mathbb R^{3,1}$ . El grupo de isometría de este espacio, el grupo de Poincare, tiene dimensión $10$ ya que hay $4$ traducciones, $3$ rotaciones, y $3$ potencia. Por otra parte, en este caso tenemos $D=4$ de modo que el número máximo de vectores asesinos independientes sea $4(4+1)/2 = 10$ . Resulta, de hecho, que cada rotación, traslación e impulso da lugar a un campo vectorial de Killing independiente, de modo que Minkowski es máximamente simétrico.

De hecho, se puede demostrar que existen (hasta isometría) precisamente tres espaciotiempos maximalmente simétricos distintos: $\mathrm{AdS}_{d+1}, \mathbb R^{d,1}, \mathrm{dS}_{d+1}$ denominados espacio anti de-Sitter, espacio de Minkowski y espacio de-Sitter respectivamente, y que todos estos espaciostiempos tienen curvatura constante negativa, nula y positiva respectivamente. Los grupos de isometría de estos espaciostiempos están muy estudiados y constituyen la columna vertebral de gran parte de la física. En particular, todo el edificio de $\mathrm{AdS}/\mathrm{CFT}$ se basa en el hecho de que $\mathrm{AdS}$ tiene un grupo de isometría especial que está relacionado con el grupo conforme del espacio de Minkowski.

Answer 2

La simetría es tan importante en la Relatividad General como en la Relatividad Especial.

En SR la simetría es el Grupo de Poincare que es el grupo de mapeos del espacio-tiempo consigo mismo que preserva la fórmula métrica entre sucesos dada por $d^2 = \Delta{x}^2+\Delta{y}^2 + \Delta{z}^2 - c^2\Delta{t}^2$ El grupo de Poincare es una extensión del grupo de Lorentz que también incluye traslaciones.

Estas transformaciones de grupo son isometrías de la métrica fija. La teoría de las isometrías en la RG sobre fondos fijos se describe mediante campos vectoriales de Killing, como en la respuesta de joshphysics. Forman un álgebra de Lie utilizando la derivada de Lie y esto genera el grupo de isometrías, pero este grupo no es trivial sólo en casos especiales. Los vectores de matanza son importantes para algunas aplicaciones, pero hay una simetría mayor en la RG que es una simetría de las ecuaciones completas que incluye una métrica dinámica en lugar de una métrica de fondo estática.

En la RG, la simetría completa es el grupo de difeomorfismos del colector, que es el grupo de todos los mapas continuos y diferenciables (biyecciones) del colector respecto a sí mismo ("diferenciable" significa que las funciones de las coordenadas en los parches son diferenciables). Si la topología de la variedad es $ \mathbb{R}^4$ entonces se puede incrustar el grupo de Poincare en el grupo de difeomorfismo de infinitas maneras.

Las ecuaciones completas que describen la física en relatividad general deben ser covariantes bajo esta invariancia de difeomorfismo. Este es el caso cuando se incluyen las ecuaciones del campo gravitatorio, así como las ecuaciones del movimiento de la materia. Se trata de una simetría mucho mayor que la de la RS, ya que el grupo de difeomorfismos es de dimensiones infinitas, mientras que el grupo de Poincare sólo tiene diez dimensiones.

Answer 3

Teoría de grupos hace desempeñan un papel importante en la relatividad general, y conozco tres tipos diferentes de simetrías relevantes:

En primer lugar, están las simetrías físicas de soluciones específicas de las ecuaciones de campo, formalizadas por los campos de Killing, los generadores de grupos de un parámetro de isometrías locales.

En segundo lugar, está la covarianza general. Matemáticamente, esto significa que la relatividad general debe formularse en términos de haces naturales en los que los difeomorfismos del espaciotiempo se elevan a automorfismos de haz denominados transformaciones covariantes generales. Es un tipo de simetría gauge, pero diferente de la que resulta familiar en la teoría de Yang-Mills (estas últimas transformaciones de simetría son verticales y no afectan al espaciotiempo).

Hay una tercera clase de simetrías relevantes en calibre gravedad las simetrías estructurales. Si partimos de un espaciotiempo orientado, su haz tangente es un haz vectorial asociado a un haz principal con grupo estructural $GL^+(4,\mathbb R)$ . La métrica pseudo-riemanniana es un campo de Higgs clásico que rompe esta simetría por reducción a $SO(1,3)$ . Esta simetría puede reducirse a $SO(3)$ que da lugar a las descomposiciones espacio-tiempo vistas por los observadores físicos.