3 votos

¿Qué hace $[L]=[I]^{-1}[II]$ ¿quieres decir?

Tengo una pregunta sobre una de las ecuaciones de mis notas.

Las representaciones matriciales del mapa de Weingarton, primera forma fundamental y segunda forma fundamental satisfacen $[L]=[I]^{-1}[II]$

Según tengo entendido, $[II]$ es realmente la representación matricial de un mapa bilineal de $T_pM\times T_pM \to R$ . Y así es $[I]$ Así que $[I]^{-1}$ representa un mapa de $R \to T_pM \times T_pM$ ?

Pero entonces $L$ es un mapa que toma un vector y da como resultado otro vector. Así que el lado izquierdo y el lado derecho no parecen ser la misma cosa en absoluto. No sé si me estoy confundiendo. ¿Alguna idea?

2voto

Rob Dickerson Puntos 758

No, en este contexto $[I]^{-1}$ significa que el matriz inversa de la matriz de la primera forma fundamental (por ejemplo, la matriz métrica). No significa la inversa de la primera forma fundamental (que en cualquier caso no está definida: hay un enorme número de pares de vectores cuyo producto interior es $1$ por ejemplo).

2voto

Seub Puntos 2386

Sólo para completar lo que han escrito user7530 y Travis:

$\operatorname{I\!I}$ es una forma bilineal simétrica y $\operatorname{I}$ es una forma bilineal simétrica no degenerada. En esta situación se tiene una única $\operatorname{I}$ -operador adjunto a sí mismo asociado a $\operatorname{I\!I}$ es decir, un operador (endomorfismo) $L$ tal que $$\operatorname{I}(Lx, y) = \operatorname{I}(x, Ly) = \operatorname{I\!I}(x,y)\,.$$ Si tomas alguna base de tu espacio vectorial $V$ ( $= T_pM$ ) para representar las formas bilineales $\operatorname{I}$ y $\operatorname{I\!I}$ y el endomorfismo $L$ por matrices cuadradas, entonces estas matrices satisfacen la relación que has escrito. Es fácil de demostrar directamente, pero una posible interpretación como señaló Travis es que $$L = {\left(\operatorname{I}^\flat\right)}^{-1} \circ \operatorname{I\!I}^{\flat}$$ donde $\operatorname{I}^\flat$ es el mapa $V \to V^*$ definido por $\operatorname{I}^\flat(x) = \operatorname{I}(x , \cdot)$ , lo mismo para $\operatorname{I\!I}^{\flat}$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X