He probado el siguiente problema, ¿puede ayudarme a comprobar si hay alguna laguna en mi prueba?
Sea I un intervalo abierto en R, sea $c \in I$ y que $f, g\colon I\to \mathbb{R}$ sean funciones. Supongamos que $f(c) = g(c)$ y que $f(x) \leq g(x)$ para todos $x \in I$ . Demuestra que si f y g son diferenciables en c, entonces f'(c) = g'(c).
Así que la siguiente es mi prueba:
Dejemos que $x \in I$ ,
si $x \lt c$ entonces $\lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{f(x) - f(c)}{x-c}$ = $\lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{f(c) - f(x)}{c-x} \geq \lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{g(c) - g(x)}{c-x} = \lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{g(x) - g(c)}{x-c}$
si $x \gt c$ entonces $\lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} \leq \lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{g(x) - g(c)}{x-c}$
Desde $f$ y $g$ son diferenciables en $c$ sabemos que $\lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} = \lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{f(x) - f(c)}{x-c}=f'(c)$ y $\lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{g(x) - g(c)}{x-c} = \lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{g(x) - g(c)}{x-c} = g'(c)$
Así, $\lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} = \lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{f(x) - f(c)}{x-c} = \lim\limits_{x\rightarrow c-}\frac{g(x) - g(c)}{x-c} = \lim\limits_{x\rightarrow c+}\frac{g(x) - g(c)}{x-c}$
Por lo tanto, $f'(c) = g'(c)$ .
No encuentro ningún problema en mi prueba, pero por alguna razón no me siento cómodo con ella. No obstante, si es totalmente correcta, dímelo :) ¡¡¡Gracias!!!
