Referencias:
Pregunta 1: Dado un número $N$ ¿podemos construir una región plana convexa que se pueda cortar en $N$ ¿piezas convexas mutuamente congruentes, pero no en cualquier otro número de piezas convexas mutuamente congruentes?
Respuesta parcial (adivinar): Para prime $N$ Parece que hay una forma sencilla. Tomar un $N$ -gon y marca de él $N$ Cuadriláteros mutuamente congruentes trazando líneas desde el centro a los puntos medios de las N caras. Ahora, en cada cuadrilátero, sustituye las dos aristas "exteriores" por copias de una polilínea con, digamos $p$ bordes y con ángulos que son fracciones irracionales de $\pi$ (ver ref. 3 para justificar lo de "irracional") de tal manera que el $N$ -gon se convierte en un convexo $Np$ -gon. Este $Np$ -gon parece permitir la partición en $N$ y sólo $N$ piezas que son mutuamente congruentes, convexas y conectadas.
Observación: Según las respuestas siguientes, se puede actualizar el intento anterior para que funcione para todos los valores de $N$ no sólo los primos.
Pregunta 2: ¿Existen regiones planas convexas que permitan la partición en piezas mutuamente congruentes y conectadas sólo cuando el número de piezas es uno de exactamente $2$ valores especificados - por ejemplo, ¿hay una región convexa que sólo puede ser cortada en $3$ piezas congruentes conectadas o $5$ ¿en piezas congruentes pero no en otro número de piezas congruentes?
Observación: La respuesta a la pregunta 1 puede modificarse ligeramente para obtener regiones planas que parecen permitir la partición en sólo $N$ piezas mutuamente congruentes o $kN$ piezas mutuamente congruentes donde $N$ y $k$ son primos.
Nota: Se puede ampliar la pregunta 2 y preguntar si dado un conjunto S de números relativamente primos entre sí, se puede construir una región plana que permita la partición sólo en conjuntos de piezas congruentes con cardinalidades iguales a cada elemento del conjunto S y ningún otro número. También se pueden considerar versiones menos restringidas - por ejemplo, permitir que las piezas mutuamente congruentes y la región de entrada no sean convexas.
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Creo que es inapropiado ampliar una pregunta después de que ya se hayan dado dos respuestas -- en su lugar, sería apropiado retroceder a la v4 de la pregunta, aceptar una de las respuestas, y entonces posiblemente hacer otra pregunta sobre el mismo tema.
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Gracias stefan kohl. y gracias matt f. acabo de aceptar las respuestas -no sabía cómo hacerlo antes- y volveré atrás y aceptaré algunas respuestas anteriores. reg. el otro punto, la pregunta 2, que se mantiene, estaba ahí desde el principio del post y en realidad no amplié la pregunta.