¿Cómo saber si una ecuación de hipérbola equilátera tiene o no tiene solución entera?

Question

Esta es la ecuación

$$y=(K-3x)/(1+2x)$$

$K$ es un número entero positivo

Quiero saber para cualquier $K>0$ Sin trazar una gráfica, ¿es posible saber si esta ecuación tiene soluciones enteras positivas o no?

Puede ser sencillo, pero yo ya dejé la escuela durante décadas. Acabo de encontrarme de nuevo con un problema de matemáticas y me parece interesante. Así que por favor ayuda.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que existe una solución de números enteros positivos, es decir, para algunos números enteros positivos $x,y$ :

$$K - 3x = y(1+2x)$$

Observe que: $$2K + 3 = (2K-6x)+(3+6x) = (2y+3)(1+2x)$$

que también es un múltiplo de $1+2x$ .

Así que sólo tenemos que comprobar si $2K+3$ tiene factores de la forma $1+2x$ .

Pero $2K+3$ es impar, por lo que todos sus factores son impar.

Sin embargo, necesitamos $x, y > 0$ . Esto lleva a (editado): $$x< \frac K3 \implies 3 \le 1+2x < 1+\frac {2K}3 = \frac {2K+3}3$$

y podemos demostrar que, siempre que $2K+3$ no es primo y es mayor que $9$ hay un factor impar de $2K+3$ que satisface la desigualdad anterior.

Por lo tanto, existe una solución entera positiva siempre que $2K+3$ es compuesto y $>9$ .

Answer 2

$$ (2x+1)(2y+3) = 4xy + 6x + 2y + 3 $$

Usted tiene $$ 4xy + 6x + 2y = 2K $$

$$ (2x+1)(2y+3) = 3 + 2 K $$

Las soluciones enteras provienen de la factorización $3+2K,$ haciendo una lista de todos los divisores (positivos y negativos), asignando un divisor a $(2x+1)$ y el cociente apropiado para $(2y+3)$