"¿Opciones, funciones parciales y conjuntos puntuales en la matemática de grado?

Question

Como estudiante de matemáticas, se suele enseñar con la teoría de conjuntos básica la noción de producto directo $A \times B$ y la unión disjunta $A \sqcup B$ . Pero por muy común que sea, nunca me he encontrado con la "Opción(A)" (Tiene muchos nombres) con $Opt(A) = A \sqcup \{\blacksquare\}$ donde $\blacksquare$ es disjunta de $A$ y se considera tal vez como "No A" o "Ninguno".

Por ejemplo, un matemático o ingeniero de software descuidado puede imaginar una función $FirstElement : FiniteSeqOf(A) \rightarrow A$ sin tener en cuenta cómo se definiría $FirstElement$ en la lista de longitud $0$ . Pero envolver el dominio con $Opt$ salva el día: $FirstElement: FiniteSeqOf(A) \rightarrow Opt(A)$ con $FirstElement([]) = \blacksquare$ .

La construcción $Opt(A)$ es un functor, por supuesto. También puede verse como la asociación de un conjunto $A$ con subconjuntos / secuencias finitas de $A$ si el tamaño $0$ o $1$ .

Estrechamente relacionados: funciones parciales, categorías de conjuntos puntuales.

Dada la simplicidad de este constructo en comparación con otros comúnmente vistos, ¿dónde aparece esto, explícitamente, en las matemáticas de pregrado?

Answer 1

Creo que el sentido al que te refieres no se utiliza mucho en las matemáticas puras, ya que generalmente obtenemos un mejor comportamiento simplemente eliminando las cosas malas del dominio en lugar de tratar de darles cuenta utilizando funciones parciales. (Por ejemplo, tendemos a usar campos en lugar de ruedas).

El cobertura de este objeto en nlab parece confirmarlo; si hay fueron tales aplicaciones en las matemáticas elementales, podríamos esperar verlas señaladas allí.

Los objetos puntuales, por supuesto, aparecen en la topología algebraica y amigos.